depende del diseño:
a partir de 1 esfera
1 esfera dividiría el espacio en 2 regiones (adentro, afuera)
2 esferas dividen el espacio en 4 (fuera de A y B, solo dentro de A, solo dentro de B, dentro de A y B) con superposición, o 3 sin
3 esferas dividen el espacio en hasta 8 con superposición, o 4 sin
4 esferas dividen el espacio en hasta 16 con superposición, o 5 sin
5 esferas dividen el espacio en 6 sin superposición; pero con esferas superpuestas te encuentras con el mismo tipo de problema que tienes en una superficie plana con círculos cuando tienes más de 3 círculos
respuesta simple:
si no se les permite superponer (o tocar) las superficies, entonces las N esferas lo dividen en N + 1 regiones, esto es bastante más fácil de visualizar.
respuesta no tan simple:
Si se permite la superposición, cada nueva esfera podría dividir las regiones anteriores por 2 nuevamente, por lo tanto, N esferas dividiéndola en regiones 2 ^ N, sin embargo, esto podría requerir dimensiones N-1, que podrían estar fuera de las limitaciones implícitas de la pregunta.
restringiendo la solución a 3 dimensiones
[matemáticas] 2 + \ sum \ limits_ {k = 2} ^ n ((k-1) (k-2) +2) = \ frac {n ^ 3-3n ^ 2 + 8n} {3} [/ matemáticas ]
- Si [math] p> 3 [/ math] es un número primo, ¿por qué [math] p [/ math] es un factor del numerador de [math] \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ frac {1} {i (pi)} [/ math]?
- ¿Existe siempre un isomorfismo entre [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math] y [math] \ mathbb {M} _ {m \ times n} [/ math]? ¿Se puede probar esto?
- Desarrollé el método de reducción de números hace 8-10 años. ¿Es esto algo nuevo y cómo puedo demostrar que es verdad?
- ¿Por qué [math] 2 ^ {- 149} [/ math] es el espacio normalizado más pequeño en el formato de precisión simple IEEE 754?
- ¿Cuál es el resto cuando 48 ^ 46 se divide por 49 ^ 2?
razonamiento:
comience con Diagramas de Euler y Diagramas de Venn usando círculos (‘Esferas 2D’): los posibles problemas comienzan cuando los Diagramas de Venn tienen más de 3 círculos – 4 esferas -> Disposición 3D
1 círculo -> 2 regiones
2 círculos -> 4 regiones
3 círculos -> 8 regiones
4 círculos -> 14 regiones (2 menos de 4 esferas)
5 círculos -> 22 regiones … básicamente => n ^ 2 – n + 2
etc.
prueba de inducción
Círculos: para n = 1, las regiones son 2. Con k-1 círculos, cuando agrega un nuevo círculo, se intersecará con los círculos anteriores como máximo en 2 puntos (k-1), por lo que se dividirá en como máximo 2 (k-1) arcos. Cada uno se divide una región en 2 nuevas regiones. Por lo tanto, el aumento en el número de regiones se limita a un máximo de 2 (k-1). El número total es así
[matemáticas] 2 + \ suma \ límites_ {k = 2} ^ n 2 (k-1) = n ^ 2-n + 2 [/ matemáticas]
Esferas: similares
fórmula de hiper-esferas d-dimension
[matemáticas] R_d (n) = \ begin {pmatrix} n-1 \\ d \ end {pmatrix} + \ sum \ limits_ {k = 0} ^ d \ begin {pmatrix} n \\ k \ end {pmatrix} [/matemáticas]
o
[matemáticas] R_d (n) = R_d (n-1) + R_ {d-1} (n-1) [/ matemáticas]
así
[matemáticas] R_1 (n) = R_1 (n-1) + R_ {0} (n-1) = n ^ 2 – n + 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] R_2 (n) = R_2 (n-1) + R_ {1} (n-1) = \ frac {n ^ 3-3n ^ 2 + 8n} {3} [/ matemáticas]
(con suerte no más errores tipográficos y otros errores)