¿Cómo podemos demostrar que la ecuación [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas] tiene infinitas soluciones enteras?

Answer 1

Primero tenga en cuenta que, debido a la homogeneidad, [matemáticas] (ab) (bc) (ca) | a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas] es suficiente.

Entonces tenga en cuenta que [matemáticas] 2 | b = (a + 1) = (c-1) [/ math] satisface esto.

EDITAR: Como se preguntó en los comentarios, elaboraré.

Una función homogénea es una función que satisface [math] f (kx) = k ^ df (x) \ quad \ forall x [/ math]. Por ejemplo, si [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] f (kx) = k ^ 2 f (x) [/ matemática], entonces f es homogénea con el grado 2 (d es el grado)

Esto también es extensible a funciones n-dimensionales, por ejemplo [math] f (kx, ky, kz) [/ math] podría ser [math] k ^ 4 f (x, y, z) [/ math], por lo tanto f Es homogéneo con grado 4.

Ahora, considera las funciones
[matemáticas] f (a, b, c) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] g (a, b, c) = (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] f (ka, kb, kc) = (ka) ^ 2 + (kb) ^ 2 + (kc) ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] k ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) = k ^ 2 f (a, b, c) [/ matemáticas]
[matemáticas] g (ka, kb, kc) = (ka – kb) (kb – kc) (kc – ka) = [/ matemáticas] [matemáticas] k ^ 3 (a – b) (b – c) (c – a) = k ^ 3 g (a, b, c) [/ matemáticas]
Lo que significa que ambas funciones son homogéneas.

Esta característica parece aburrida, pero en realidad es increíblemente útil: si podemos encontrar un triple (a, b, c) para el cual [matemática] f (a, b, c) = kg (a, b, c) [/ matemática] , luego
[matemáticas] f (ka, kb, kc) = k ^ 2 f (a, b, c) = k ^ 3 g (a, b, c) = g (ka, kb, kc) [/ matemáticas]

aka (ka, kb, kc) es una solución.

Ahora, ¿cómo encontramos esos (a, b, c)?
Tenga en cuenta primero que, dado que a, byc son enteros, f (a, b, c) es un entero positivo (y grande), por lo que no importa lo que sean a, b o c, probablemente sea grande (a diferencia de g, que puede ser negativo)

Pero, ¿qué pasaría si pudiéramos generar nuestros triples de tal manera que [matemáticas] g (a, b, c) = 1 [/ matemáticas]? Entonces, no importa qué sea f, [matemáticas] f (a, b, c) = f (a, b, c) \ cdot g (a, b, c) [/ matemáticas], y al instante tendríamos una solución.

Desafortunadamente, tal triple no existe (Izquierda como ejercicio. Sugerencia: g (a, b, c) no puede ser extraño).

Sin embargo, si a, byc son consecutivos, entonces g (a, b, c) = 2, lo que podría dar una solución adecuada si f (a, b, c) es un múltiplo de 2. Es fácil demostrar que , si b es divisible por 2, f (b-1, b, b + 1) también es divisible por 2.

Por lo tanto, el conjunto [matemática] \ frac {f (2p – 1, 2p, 2p + 1)} {2} \ cdot [/ matemática] satisface las condiciones para todas las p.

Por ejemplo:

Supongamos que (a, b, c) = (1, 2, 3),
f (1, 2, 3) = 14
g (1, 2, 3) = 2

Así,
f (7, 14, 21) = 7 ^ 2 f (1, 2, 3) = 686,
g (7, 14, 21) = 7 ^ 3 g (1, 2, 3) = 686
entonces (a, b, c) = (7, 14, 21) es una solución.

Intentemos esto nuevamente para el próximo set:
a = 3, b = 4, c = 5. f = 50, g = 2 yf / 2 = 25. Esto significa que (a, b, c) = (75, 100, 125) es una solución.

Y así.

Answer 2

Todavía no estoy convencido de que esto sea cierto, pero aquí va mi argumento parcial.

En primer lugar, como [math] (ab) (bc) (ca) = a ^ 2 (cb) + b ^ 2 (ac) + c ^ 2 (ba) [/ math], podemos reescribir la ecuación como

[matemáticas] a ^ 2 (1 + bc) + b ^ 2 (1 + ca) + c ^ 2 (1 + ab) = 0. [/ matemáticas]

Reescribimos esto como

[matemáticas] (1 + bc) a ^ 2 + (c ^ 2-b ^ 2) a + (b ^ 2 + b ^ 2c + c ^ 2-bc ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

a partir del cual

[matemáticas] a = \ displaystyle \ frac {b ^ 2-c ^ 2 \ pm \ sqrt {(b ^ 2-c ^ 2) ^ 2-4 (1 + bc) (b ^ 2 + b ^ 2c + c ^ 2-bc ^ 2}} {2 (1 + bc)} [/ math]

o

[matemáticas] a = \ displaystyle \ frac {b ^ 2-c ^ 2 \ pm \ sqrt {b ^ 4-4 (1 + c) b ^ 3 + (6c ^ 2-4) b ^ 2-4 c ^ 3 b + c ^ 2 (c ^ 2 + 4 c-4)}} {2 (1 + bc)}. [/ Matemática]

Requerimos que el término dentro de la raíz cuadrada se reduzca a un cuadrado perfecto. Entonces, [matemáticas] y ^ 2 = b ^ 4-4 (1 + c) b ^ 3 + (6c ^ 2-4) b ^ 2-4 c ^ 3 b + c ^ 2 (c ^ 2 + 4 c -4) [/ matemáticas]. Podemos demostrar que

[matemáticas] y ^ 2 = (b ^ 2-2 (1 + c) b + c ^ 2-4c-4) ^ 2 – 4 (3c ^ 2 + 8c + 4) b + 4 (3c ^ 3-3c ^ 2-8c-4). [/ Matemáticas]

Una de las formas para que este sea un cuadrado perfecto es cuando [matemáticas] (3c ^ 2 + 8c + 4) b = 3c ^ 3-3c ^ 2-8c-4 [/ matemáticas], o [matemáticas] b = \ displaystyle \ frac {3c ^ 3-3c ^ 2-8c-4} {3c ^ 2 + 8c + 4} = c- \ frac {11} {3} + \ frac {4} {3} \ left (\ frac {13c + 8} {(3c + 2) (c + 2)} \ right) [/ math]. Esto significa que [matemáticas] 3b-3c + 11 = \ displaystyle \ frac {4 (13c + 8)} {(3c + 2) (c + 2)} [/ matemáticas], y dado que el LHS es un número entero, nosotros necesita mostrar que [matemáticas] 4 (13c + 8) [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] (3c + 2) (c + 2) [/ matemáticas]. Esto funciona solo para [matemáticas] c = -4, -1, 0, 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Para la ecuación original, [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = -2 [/ matemáticas] también funciona. Pero estas son las únicas soluciones enteras que obtenemos de aquí, por lo tanto, a partir de este enfoque, solo reunimos un número finito de soluciones.

Otro enfoque es notar que la diferencia entre dos cuadrados [matemática] p ^ 2 [/ matemática] y [matemática] q ^ 2 [/ matemática] debe ser al menos [matemática] (2p-1) [/ matemática]. Por eso podemos decir que

[matemáticas] y ^ 2 – (b ^ 2-2 (1 + c) b + c ^ 2-4c-4) ^ 2 \ geq 2 (b ^ 2-2 (1 + c) b + c ^ 2- 4c-4) -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 (3c ^ 3-3c ^ 2-8c-4) -4 (3c ^ 2 + 8c + 4) b \ geq 2 b ^ 2-4 b c-4 b + 2 c ^ 2-8 c -9 [/ matemáticas]

o eso

[matemáticas] (b ^ 2-2 (1 + c) b + c ^ 2-4c-4) ^ 2 – y ^ 2 \ geq 2 (b ^ 2-2 (1 + c) b + c ^ 2- 4c-4) -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 (3c ^ 2 + 8c + 4) b-4 (3c ^ 3-3c ^ 2-8c-4) \ geq 2 b ^ 2-4 b c-4 b + 2 c ^ 2-8 c -9 [/ matemáticas]

Resolvemos estas desigualdades.

La primera desigualdad es [matemática] 2 b ^ 2 + (12 c ^ 2 + 28 c +12) b -12 c ^ 3 + 14 c ^ 2 + 24 c + 7 \ leq 0 [/ matemática]. Como el coeficiente de [math] b ^ 2 [/ math] es positivo, la gráfica del LHS tendrá un punto mínimo para cualquier valor de [math] c [/ math]. Sin embargo, cada valor entero de [math] c [/ math] proporcionará un rango diferente de posibles soluciones, por lo que el número de soluciones enteras puede ser infinito (aunque no estoy seguro de si lo es).

La segunda desigualdad es [matemáticas] 2 b ^ 2 + (- 12 c ^ 2 -36 c -20) b + 12 c ^ 3-10 c ^ 2-40 c-25 \ leq 0 [/ matemáticas], donde tenemos el mismo escenario: el gráfico tendrá un punto mínimo para cualquier valor de [math] c [/ math]. Entonces se llega a la misma conclusión que para la desigualdad anterior.