Gracias por A2A. La suma es [matemáticas] 51 = 9 + 18 + 24 [/ matemáticas].
Puede descomponer [matemáticas] n [/ matemáticas] en factores primos, es decir, [matemáticas] n = 2 ^ {a} 3 ^ {b} p_1 ^ {s_1} p_2 ^ {s_2} \ ldots p_k ^ {s_k}, [ / math] donde [math] p_i [/ math] son primos [math] \ ge 5. [/ math]
En particular, se deduce que [math] b \ geq 1 [/ math] porque [math] n [/ math] es divisible por [math] 3 [/ math].
Entonces sabemos que [math] d (n) = (a + 1) (b + 1) (s_1 + 1) (s_2 +1) \ ldots (s_k + 1) [/ math] (Vea ¿Cómo calculo el número de divisores por los factores primos?
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La condición [matemáticas] d (n) = \ frac {n} {3} [/ matemáticas] se puede escribir como
[matemáticas] \ displaystyle {(a + 1) (b + 1) (s_1 + 1) (s_2 +1) \ ldots (s_k + 1) = 2 ^ {a} 3 ^ {b-1} p_1 ^ {s_1 } p_2 ^ {s_2} \ ldots {p_k} ^ {s_k}.} [/ math] (*)
Tenga en cuenta que [math] p_i ^ {s_i}> s_i +1 [/ math] para [math] s_i> 0. [/ Math]
Al mismo tiempo, [matemática] 2 ^ {a} = a + 1 [/ matemática] para [matemática] a = 0 [/ matemática] o [matemática] a = 1, [/ matemática] y [matemática] 2 ^ { a}> a + 1 [/ math] para [math] a> 1. [/ math]
Además de eso [matemáticas] 3 ^ {b-1}> b + 1 [/ matemáticas] para [matemáticas] b \ geq 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ {b-1} = b + 1 [ / math] para [math] b = 2. [/ math]
Si [math] b \ ge 3 [/ math] entonces el RHS de (*) es mayor que LHS, y la condición requerida no es posible.
Entonces [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = 2. [/ Matemáticas]
Caso [matemáticas] b = 2. [/ Matemáticas]
Para [matemática] b = 2 [/ matemática] [matemática] 3 ^ {b-1} = b + 1. [/ matemática] Por lo tanto, las igualdades [matemática] p_i ^ {s_i} = s_i +1 [/ matemática] debe sea cierto también para todos [math] p_i [/ math] que fuerza [math] s_i = 0. [/ math] Y hay dos posibilidades para [math] a [/ math], a saber [math] a = 0 [/ matemática] y [matemática] a = 1 [/ matemática] st [matemática] 2 ^ {a} = a + 1. [/ matemática]
Por lo tanto, [matemáticas] n = 2 ^ {0} 3 ^ {2} = 9 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 2 ^ {1} 3 ^ {2} = 18. [/ Matemáticas]
Caso [matemática] b = 1. [/ matemática]
Para [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] [matemáticas] b + 1 = 2 [/ matemáticas]. Entonces el LHS de (*) es divisible por [math] 2 [/ math]. Se deduce que [math] a \ geq 1. [/ Math]
Si [matemática] a = 1 [/ matemática] [matemática] a + 1 = 2 [/ matemática] entonces el LHS de (*) es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], entonces [matemática] a \ geq 2 . [/ math] Una contradicción.
Si [matemática] a = 2 [/ matemática] [matemática] a + 1 = 3 [/ matemática], entonces el LHS de (*) es divisible por [matemática] 3. [/ matemática] Pero contradice a [matemática] b = 1. [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] a \ geq 3 [/ matemáticas]. Pero entonces [matemáticas] (a + 1) (b + 1) = 2 (a + 1) \ leq 3 ^ {b-1} 2 ^ {a} = 2 ^ {a}. [/ Matemáticas] Entonces, el único la posibilidad es [matemática] a = 3. [/ matemática] Así [matemática] n = 2 ^ {3} \ cdot 3 = 24. [/ matemática]