Primero tendría que definir lo que quiere decir tomando el logaritmo de un vector. Para los números, es bastante sencillo: si [matemática] x [/ matemática] es el número de entrada, entonces la salida [matemática] f (x) = \ ln (x) [/ matemática] es el número tal que [matemática] e ^ {f (x)} = x [/ matemáticas]. Para los números, el logaritmo es el inverso de la función exponencial, que asigna números a números.
Como señala David Joyce, si la entrada es una matriz cuadrada [matemática] A [/ matemática], entonces puede definir la función como una serie de Taylor en potencias de la matriz,
[math] \ mathscr {f} (A) \ equiv \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {n} (0)} {n!} A ^ n [/ math]
siempre que [math] f ^ {n} (0) [/ math] exista para todos [math] n [/ math]. Esto funciona porque [math] A ^ n [/ math] también está bien definido para todos [math] n [/ math]: es solo el producto matricial de [math] n [/ math] copias de la matriz [math ] A [/ matemáticas]. El resultado de este producto matricial tiene el mismo número de filas y columnas que [math] A [/ math]. Sin embargo, cuando [math] A [/ math] no es una matriz cuadrada (por ejemplo, si es un vector de columna), el producto [math] A ^ n [/ math] está mal definido en términos de multiplicación matricial ordinaria (intente ¡eso!). Entonces, esta definición no funciona para funciones de vectores.
- ¿Qué sucede si alguien descubre un algoritmo de tiempo polinómico para problemas de factorización de enteros?
- 1 coulomb es 1 amperio por segundo y 1 ampere es 1 coulomb por segundo (eso es lo que dice Wikipedia). Estoy un poco confundida. ¿Qué significa esto?
- ¿Hay mapas de multiplicación no triviales [math] \ mathbb {Z} _ {2n} \ to \ mathbb {Z} _ {2n} [/ math] que mapean los restos positivos [math] \ mod 2n [/ math] biyectivamente en sí mismos ? (Ver detalles de la pregunta)
- ¿Es [math] 4x [/ math] una función?
- ¿Cómo podemos demostrar que la ecuación [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas] tiene infinitas soluciones enteras?
Probablemente, la forma más obvia de evitar esto es definir una función de un vector como tomar cada componente del vector y devolver un vector cuyos componentes son la función aplicada a cada componente del vector de entrada. Es decir, si [math] A [/ math] es un vector componente [math] N [/ math] y [math] {\ mathbf {e} _i} [/ math] es alguna base,
[matemáticas] A = \ sum_ {i = 1} ^ {N} A_i \ mathbf {e} _i [/ matemáticas]
entonces definimos la función como
[matemática] \ mathscr {f} (A) \ equiv \ sum_ {i = 1} ^ {N} f (A_i) \ mathbf {e} _i [/ math]
Como mencionó, esto es lo que hacen muchos lenguajes de programación cuando proporciona un vector como entrada de una función matemática. En este caso, el logaritmo del vector es
[matemáticas] \ ln (A) \ equiv \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ ln (A_i) \ mathbf {e} _i [/ matemáticas]
Pero, ¿quién dice que tienes que asignar un vector a un vector? Una definición alternativa podría ser
[matemática] \ mathscr {f} (A) \ equiv f (| A |) [/ matemática]
donde [math] | A | [/ math] es la norma vectorial de [math] A [/ math]. Esta función asigna un vector a un número. Si este vector es de dimensión infinita, esta función se llama funcional.
O bien, puede volver al método de David y primero asignar el vector a una matriz cuadrada,
[math] \ mathscr {A} _ {ij} = A_i \ delta_ {ij} [/ math]
y define la función como
[matemáticas] \ mathscr {f} (A) \ equiv \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {n} (0)} {n!} \ mathscr {A} ^ n [/ matemáticas]
Esto asigna un vector a una matriz (diagonal).
Por supuesto, hay muchas otras formas de definir una función de un vector. Una vez que elija una definición que funcione para el logaritmo, entonces [math] \ ln (A) [/ math] seguirá de la definición.