¿La congruencia [matemáticas] x ^ 3 = 2 \ mod p [/ matemáticas] tiene alguna solución?

Answer 1

Solo verificaría si esta es una pregunta válida (si hay alguna pregunta). ¿Cuál sería el orden de los enteros módulo p?

Bueno, el orden es p-1, que es divisible por 6. Eso significa que elevar a la tercera potencia no es una operación biyectiva.

Dicho esto, debería existir una forma de verificar si tenemos un cubo perfecto, al igual que el símbolo Legendre. Intentemos encontrar algo que cuando se eleva a la tercera potencia da 1. [matemática] \ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} 3} [/ matemática]. Este dará 1 módulo p si f es un cubo perfecto módulo p.

Probemos con los primeros primos p y con a = 2.

[matemáticas] 7: 2 ^ 2 \ equiv4 \ neq1 \\ 13: 2 ^ 4 \ equiv3 \ neq1 \\ 19: 2 ^ 6 \ equiv7 \ neq 1 [/ matemáticas]

Pero intentemos 31.

[matemáticas] 31: 2 ^ {10} = 1024 = 32 \ cdot32 \ equiv 1 \ cdot1 = 1 [/ matemáticas]

Esto significa que, sea cual sea la solución que haya, existe una solución.

No sé cómo insertar tablas, así que simplemente intentemos los números manualmente.

[matemática] 1 \ to1 \ equiv1 \\ 2 \ to8 \ equiv8 \\ 3 \ to27 \ equiv-4 \\ 4 \ to64 \ equiv2 [/ math].

¿Qué? ¿La sexta potencia de 2 es 2? Bueno, eso es nuevo. Pero de hecho [matemáticas] 2 ^ 6 = 64 = 2 \ cdot31 + 2 [/ matemáticas].

Answer 2

Sí, tomemos mi [matemática] x = 666 favorita. [/ Matemática] Debe ser una solución.

De hecho, [matemáticas] x ^ 3-2 = 295408294 = 2 × 149 × 307 × 3229. [/ Matemáticas]

Además, [matemáticas] 307 = 1 \ mod 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3229 = 1 \ mod 6. [/ matemáticas]
Entonces [math] x = 666 [/ math] es una solución [math] \ mod 307 [/ math] y [math] \ mod 3229. [/ Math]

¿Es mi pensamiento trolling provocador?

De hecho, una pregunta interesante y difícil sería para qué [matemáticas] p [/ matemáticas] tiene una solución. Por ejemplo, para [math] p = 7 [/ math] no hay ninguno.

Answer 3

Lo que le interesa es la reciprocidad cúbica. Usando esa tecnología, la respuesta es sencilla. Específicamente, cualquier primo que sea 1 mod 6 puede escribirse únicamente como [matemática] p = a ^ 2 + 3b ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] a, b [/ matemática] son ​​enteros no negativos.

Entonces [math] x ^ 3 = 2 \ mod p [/ math] tiene una solución si y solo si [math] b = 0 \ mod 3 [/ math].

Puede verificar esto para primos particulares. Por ejemplo, [matemática] 7 = 2 ^ 2 + 3 \ cdot 1 ^ 2 [/ matemática] no admite soluciones, pero [matemática] 31 = 2 ^ 2 + 3 \ cdot 3 ^ 2 [/ matemática] sí, como lo ha hecho Ya se ha observado en las otras respuestas.