Cómo resolver para [matemáticas] y [/ matemáticas] en [matemáticas] \ displaystyle \ left | \ frac {y-1} {y} \ right | = | x | [/ matemáticas]

Answer 1

Con [math] y \ ne 0 [/ math] la ecuación dada es equivalente a:

[matemáticas] \ displaystyle {| y-1 | = | xy | }[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow (y-1) ^ 2 = (xy) ^ 2} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow (y-1) ^ 2 – (xy) ^ 2 = 0} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow [(y-1) -xy] \ cdot [(y-1) + xy] = 0} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow [y (1-x) -1] \ cdot [y (1 + x) – 1] = 0} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow y (1-x) – 1 = 0 \ text {o} y (1 + x) – 1 = 0} [/ math]

Si [matemáticas] \ displaystyle {y (1-x) – 1 = 0} [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] {1 -x} [/ math] no debe ser igual a [math] 0 [/ math], de lo contrario no existe el valor de [math] y [/ math] que satisfaga la identidad. Así:
[matemáticas] \ displaystyle {y = \ frac {1} {1-x} \ ne 0} [/ matemáticas]

De manera similar, si [math] \ displaystyle {y (1 + x) – 1 = 0} [/ math] entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {y = \ frac {1} {x + 1} \ ne 0} [/ matemáticas]

Nota:
Esta ecuación es relativamente fácil, pero debemos prestar suficiente atención al aplicar una transformación equivalente (usando el signo [matemática] “\ Leftrightarrow” [/ matemática] en la inducción en cada paso) para ello, así como la forma de evitar el signo absoluto.

Answer 2

Aquí hay una forma de hacerlo:
[matemáticas] | y-1 | = | xy | \\\ Rightarrow (y-1) ^ 2 = x ^ 2y ^ 2 \\\ Rightarrow (1-x ^ 2) y ^ 2-2y + 1 = 0 [ /matemáticas]
Por lo tanto, por la fórmula cuadrática tenemos [matemática] y = \ frac {1 \ pm | x |} {1-x ^ 2} = \ frac {1} {1 \ mp | x |}. [/ Matemática]