Esta pregunta se encuentra muy lejos de mi ámbito de conocimiento, sin embargo, me pidieron que respondiera y nadie ha tenido la amabilidad de intervenir en el tiempo que he estado esperando, por lo que haré un intento. Suponga que todo lo escrito es hilarantemente incorrecto, mal atribuido y posiblemente imaginado en una bruma inducida por el café. Agregaré referencias que creo que respaldan mis afirmaciones escandalosas, pero si una vez verifico lo que estaba allí cuidadosamente, ahora soy totalmente incapaz de hacerlo nuevamente.
Hay varias clases de resultados. Lo más fácil de entender sería cero regiones libres para la función Riemann Zeta. Son exactamente como suenan: áreas de la franja crítica donde se ha demostrado que no hay ceros de la función Riemann Zeta. Si se produce una región libre de cero que incluye todos los puntos con parte real> .5, se obtiene la hipótesis de Riemann (porque la ecuación funcional se puede utilizar para reflejar su ZFR sobre la línea parte real = .5). Si para algunos .5 <r r, se puede extender el argumento clásico de Riemann para mejorar parte del término de error del teorema del número primo para ordenar n ^ r; Este sería un resultado innovador en la teoría analítica de números. Casi burlonamente, todas las regiones libres de cero conocidas se aproximan a la línea parte real = 1 cuando se deja que la parte imaginaria tienda al infinito. Hay algunos resultados de la teoría de números analíticos que comienzan con De la Vallee Poussin en el siglo XIX. Hay resultados más modernos, estoy seguro de que puedes encontrarlos a través de google, pero creo que todos hubiéramos escuchado si alguien pudiera obtener una región que no se acerca a la línea real part = 1.
El siguiente nivel de abstracción proviene de resultados que demuestran que una proporción positiva de los ceros ocurre en la línea crítica. Los primeros resultados que conozco son los de Hardy y Littlewood. Selberg mejoró mucho estas ideas al considerar a las familias de las funciones L y proponer un “calmante”. Selberg describe su hermoso trabajo en esta entrevista: http://www.ams.org/journals/bull… Pido disculpas por el pomposo nombre, que puede estar seguro de que Selberg no eligió. Creo que el trabajo moderno ha realizado algunas mejoras, pero no estoy calificado para juzgar cuánto más allá de las ideas de Selberg hemos progresado.
Bombieri y otros produjeron resultados interesantes al ‘probar la hipótesis de Riemann en promedio’ que estoy aún menos calificado para juzgar.
- Cómo resolver para [matemáticas] y [/ matemáticas] en [matemáticas] \ displaystyle \ left | \ frac {y-1} {y} \ right | = | x | [/ matemáticas]
- ¿Cuál es una buena explicación del algoritmo de Floyd y el algoritmo de Brent para la búsqueda de ciclos?
- ¿Cuál es una fórmula para calcular la suma de todas las permutaciones de un número dado con repeticiones?
- Sea [math] d (n) [/ math] el número de factores positivos, incluidos [math] 1 [/ math] y [math] n, [/ math] de un entero positivo [math] n [/ math] . ¿Cómo encontramos la suma de todas [matemáticas] n [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] d (n) = \ frac {n} {3} [/ matemáticas]? Cualquier prueba elegante de por qué estos son los únicos valores de [math] n [/ math] son bienvenidos pero no obligatorios.
- Cómo explicar qué sucede cuando sustituye directamente los valores de la tira crítica en la función sin continuación analítica en una función zeta de Riemann
Para el último paso hacia la abstracción, te ofrezco un material hermoso del que realmente conozco una pequeña cantidad. Hay algunos análogos geométricos de la hipótesis de Riemann que comenzaron con Andre Weil. Weil construyó funciones L que rastrearon el crecimiento del número de puntos sobre extensiones de campos finitos para variedades algebraicas y demostró la Hipótesis de Riemann para curvas. Pudo demostrar que una teoría de cohomología adecuada que tuviera un análogo de campo finito de la fórmula de trazas de Lefschetz produciría la hipótesis de Riemann para variedades generales sobre campos finitos. Estas ideas son (algunas de) las conjeturas de Weil. Grothendieck y su escuela avanzaron en la formulación de la geometría algebraica con el objetivo de producir una teoría de la cohomología que pudiera clavar la conjetura de Weil, la hipótesis de Riemann y la conjetura de Hodge de una sola vez. Lamentablemente, este proyecto no llegó a buen término. Sin embargo, Deligne logró usar la cohomología etale y la fórmula de rastreo de Grothendieck para realizar el sueño de Weil y probar las conjeturas de Weil. Si desea aprender estas cosas más o menos, puede obtener una declaración de las conjeturas de Weil del libro de Irlanda y Rosen: Una introducción clásica a la teoría moderna de números | Kenneth Irlanda | Springer y EGA y SGA están disponibles en línea de forma gratuita en una ubicación compatible con Google. La geometría algebraica de Hartshorne también tiene un apéndice sobre las conjeturas de Weil.
Estoy seguro de que hay otros enfoques con los que no estoy familiarizado. Sé que hay multitud de formulaciones alternativas que pueden tener otros resultados parciales. Hay resultados computacionales que utilizan la fórmula de Riemann-Siegel que muestran que no hay ceros fuera de la línea crítica para una parte imaginaria muy grande pero limitada. He escuchado susurros de ‘matrices aleatorias’ relacionadas con la hipótesis de Riemann flotando y estoy seguro de que las personas que entienden y trabajan en tales cosas tienen sus propios resultados parciales interesantes.
Disculpas a cualquiera cuyo trabajo me perdí. Traté de tocar los aspectos más destacados que enfatizaban la diversidad de enfoques, y necesariamente deambulaban mucho más allá de mi dominio de la comprensión.