Cómo estimar [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] sin una calculadora (usando una expresión de forma cerrada con una buena precisión)

Answer 1

Puede usar la fórmula de aproximación sinusoidal de Bhaskara I ([matemático] 7 ^ {th} [/ matemático] matemático indio del siglo).

La formulación moderna de su aproximación es:

[matemática] \ sin x ^ \ circ = {4x (180-x) \ sobre 40500-x (180-x)} [/ matemática]

[matemática] \ sin x_ {rad} = {16x (\ pi-x) \ over 5 \ pi ^ 2-4x (\ pi-x)} [/ math]

Tiene menos de 0.5% de error de 20-160 grados.
Tiene menos del 1% de error de 10-20 y 160-170 grados.
Tiene menos del 2% de error de 0-10 y 170-180 grados.

Derivación basada en geometría elemental (de Wikipedia):
Deje que la circunferencia de un círculo se mida en grados y que el radio R del círculo también se mida en grados. Al elegir un diámetro fijo AB y un punto arbitrario P en el círculo y soltar el PM perpendicular a AB , podemos calcular el área del triángulo APB de dos maneras. Igualando las dos expresiones para el área que se obtiene (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . Esto da:
.
Dejando que x sea ​​la longitud del arco AP , la longitud del arco BP es 180 – x . Estos arcos son mucho más grandes que los acordes respectivos. Por lo tanto, uno obtiene:
.
Ahora se buscan dos constantes α y β tales que:
De hecho, no es posible obtener tales constantes. Sin embargo, uno puede elegir valores para α y β para que la expresión anterior sea válida para dos valores elegidos de la longitud del arco x . Al elegir 30 ° y 90 ° como estos valores y resolver las ecuaciones resultantes, se obtiene de inmediato la fórmula de aproximación sinusoidal de Bhaskara I.

Answer 2

La aproximación de Bhaskara es asombrosa …
Tenga en cuenta que solo necesita aproximarse para valores entre 0 y 90 grados (0 a pi / 2 radianes), porque puede usar lo que sabe sobre sin (x) en cada uno de los cuatro cuadrantes para obtener su valor para cualquier ángulo en términos de su valor en la región 0 a pi / 2.
El número equivalente de cálculos numéricos al comparar la expansión de la serie de Taylor para sin (x) en x = 0 con la aproximación de Bhaskara probablemente sea solo

sin (x) appox x – x ^ 3/3! que no es tan bueno como el resultado de Bhaskara, incluso durante este intervalo más pequeño.

Sin embargo, agregando un término más, sin (x) aprox x – x ^ 3/3! + x ^ 5/5! lo hace mucho más preciso que el resultado de Bhaskara en este intervalo más pequeño (error de menos de 0.01% durante gran parte del intervalo, error máximo de 0.5% en x = pi / 2, pero involucra un poco más de cómputo (x ^ 5, en particular ):

plot ((x – x ^ 3/3! + x ^ 5/5!) – sin (x)) / sin (x) para x = 0 a pi / 2 – Wolfram | Alpha
evaluar ((x – x ^ 3/3! + x ^ 5/5!) – sin (x)) / sin (x) para x = pi / 2 – Wolfram | Alpha

Answer 3

Prueba este método:

La respuesta de Alexander Farrugia a ¿Hay alguna manera de encontrar los valores de seno, coseno y tangente mentalmente?