¿Cuál es el método más fácil para encontrar una combinación lineal?

Answer 1

Si queremos representar [math] v_1 [/ math] como una combinación lineal de los vectores [math] v_2, v_3, \ ldots, v_n [/ math], cada una de las dimensiones [math] m [/ math], primero creemos la matriz [math] m \ times n [/ math] [math] A = \ begin {pmatrix} v_1 & v_2 & \ ldots & v_n \ end {pmatrix} [/ math]. Luego calcule la matriz [matemática] A ^ TA [/ matemática], que debería ser una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática].

Si [math] A ^ TA [/ math] no tiene un valor propio cero, entonces los vectores [math] v_1, \ ldots, v_n [/ math] son ​​linealmente independientes y no se puede encontrar una combinación lineal. Si es así, busque un vector propio asociado con el valor propio 0 de [math] A ^ TA [/ math] que no tenga su primera entrada igual a cero. Si todos los vectores propios asociados con el valor propio 0 tienen su primera entrada igual a cero, entonces v_1 no se puede expresar como una combinación lineal de [math] v_2, \ ldots, v_n [/ math].

Entonces, suponiendo que encontremos nuestro vector propio requerido [matemática] z = \ begin {pmatrix} z_1 & z_2 & \ ldots & z_n \ end {pmatrix} [/ math], representará su combinación lineal, en el sentido de que [math] z_1v_1 + z_2v_2 + \ cdots + z_nv_n = 0 [/ math], y por lo tanto [math] v_1 = – \ frac {1} {z_1} \ left (z_2v_2 + \ cdots + z_nv_n \ right) [/ math] es su lineal requerido combinación.