Dado que ayb son números reales, ¿cómo se puede mostrar que [matemáticas] (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) \ geq a (b ^ 2 + 1) + b (a ^ 2 + 1) [/matemáticas]?

Answer 1

Quería escribir una solución con unos pocos pasos más de los que incluye la buena respuesta de Gram Zeppi, ya que es fácil pasar por alto algunos detalles.

Elija un par de números reales arbitrarios, [matemática] x, y [/ matemática]. La desigualdad de los medios aritméticos y geométricos se aplica a [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y uno nos dice que:

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + 1} 2 \ ge \ sqrt {x ^ 2 \ cdot 1} = | x | \ ge x [/ matemáticas]
Multiplicando la desigualdad resultante por el número (positivo) [matemática] y ^ 2 + 1 [/ matemática] da:

[matemáticas] \ frac {(x ^ 2 + 1) (y ^ 2 + 1)} 2 \ ge x (y ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Aplicamos este resultado tanto a [math] (x, y) = (a, b) [/ math] como a [math] (x, y) = (b, a) [/ math] ya que era válido para todos pares de números reales para obtener:

[matemáticas] \ frac {(a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1)} 2 \ ge a (b ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] \ frac {(b ^ 2 + 1) (a ^ 2 + 1)} 2 \ ge b (a ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Agregamos las dos desigualdades para obtener:
[matemáticas] (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) \ ge a (b ^ 2 + 1) + b (a ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Answer 2

Gracias por A2A, George.

Siga desde AM> = GM [matemáticas] \ frac {(a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1)} {2} \ geq \ frac {2a} {2} (b ^ 2 + 1) [/ matemáticas ]

Haga el mismo truco reemplazando [math] a [/ math] por [math] b [/ math] y agregue dos desigualdades.

Answer 3

Dividir entre [matemáticas] (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) [/ matemáticas], que es positivo, para obtener la desigualdad equivalente [matemáticas] 1 \ geq a / (a ​​^ 2 + 1) + b / (b ^ 2 + 1) [/ matemáticas]. Nota [matemática] 0 \ leq (a-1) ^ 2 = a ^ 2 – 2a + 1 [/ matemática] que implica [matemática] a ^ 2 + 1 \ geq 2a [/ matemática] que implica [matemática] 1 / 2 \ geq a / (a ​​^ 2 + 1) [/ math]. Del mismo modo [matemáticas] 1/2 \ geq b / (b ^ 2 + 1) [/ matemáticas]. Agregar los dos últimos da el resultado.

Answer 4

Primero, reescriba el lado izquierdo de la siguiente manera:
[matemática] \ izquierda [\ frac {1} {2} (a ^ 2 + 1) \ derecha] (b ^ 2 + 1) [/ matemática] [matemática] {} + \ izquierda [\ frac {1} { 2} (b ^ 2 + 1) \ right] (a ^ 2 + 1) \ ge a (b ^ 2 + 1) + b (a ^ 2 + 1) [/ math].

Luego, reste el lado derecho de ambos lados:
[matemática] \ izquierda [\ frac {1} {2} (a ^ 2-2a + 1) \ derecha] (b ^ 2 + 1) [/ matemática] [matemática] {} + \ izquierda [\ frac {1 } {2} (b ^ 2-2b + 1) \ right] (a ^ 2 + 1) \ ge 0 [/ math].

Finalmente, factorice las expresiones en el lado izquierdo:
[matemáticas] \ left [\ frac {1} {2} (a-1) ^ 2 \ right] (b ^ 2 + 1) + \ left [\ frac {1} {2} (b-1) ^ 2 \ right] (a ^ 2 + 1) \ ge 0 [/ math].

El lado izquierdo es la suma de dos productos de números no negativos, por lo que siempre es no negativo y, por lo tanto, la desigualdad siempre es cierta.