Durante un tiempo fui estudiante de posgrado de matemáticas, antes de hacer un giro brusco e ir a la facultad de derecho. Cuando la gente me preguntaba qué hacía entonces, mentía. Les diría algo que pensé que encontrarían interesante sobre las matemáticas. No respondía al 100% a su pregunta, pero esperaba que los hiciera sentir un poco edificados.
Un rollo típico que daría es a lo largo de estas líneas:
P: ¿Qué estudias?
R: Estudio formas interesantes y útiles de descartar información.
- ¿Qué tan buen matemático era Alan Turing?
- Dado que ayb son números reales, ¿cómo se puede mostrar que [matemáticas] (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) \ geq a (b ^ 2 + 1) + b (a ^ 2 + 1) [/matemáticas]?
- ¿Quién fue el famoso matemático profesional que robó la primera solución de ecuaciones cúbicas?
- ¿Cuál es el método más fácil para encontrar una combinación lineal?
- ¿Cuáles son algunas historias reales sorprendentes sobre matemáticos famosos y la historia de las matemáticas?
Q: ¿eh? ¿Pensé que los matemáticos resolvían ecuaciones enormes o agregaban columnas gigantes de números?
A: A veces, claro. Pero hay un punto de por qué los matemáticos hacen eso. En mi caso, es tirar la información. Esto es lo que quiero decir …
Supongamos que tienes dos libros realmente grandes, como obras de ficción. Alguien quiere saber si contienen la misma historia. (Por supuesto, hay diferentes interpretaciones de lo que significa que algo sea la “misma historia” que otra cosa. Por ahora, vamos a mantenerlo simple: dos historias son iguales si contienen las mismas palabras en el mismo orden. ) Hay algunos enfoques que puede tomar.
Por ejemplo, puedes sentarte y leer ambos libros. Eso ciertamente lo llevará a la respuesta, pero es mucho trabajo. Es demasiada información. Digamos que no tienes el tiempo o la paciencia para hacer eso.
Puede buscar un atajo desechando mucha información. Primero, aquí hay un mal acceso directo: puedes contar las páginas, con la idea de que si dos libros contienen páginas de números diferentes, entonces son libros diferentes. Pero hay una trampa. Los dos libros podrían seguir siendo la misma historia, pero impresos con diferente paginación. Entonces, si tira toda la información en un libro, excepto el recuento de páginas, no le queda algo útil.
Un mejor intento, por ejemplo, es verificar la última oración. Si las últimas oraciones son diferentes, sabes que son libros diferentes. Has tirado casi toda la información en los libros, pero aún te queda suficiente información útil para al menos potencialmente distinguir los dos libros. Todavía hay algún peligro al acecho: podría ser posible tener dos libros que terminen con la misma oración. Entonces, esta técnica no te dice que los libros son iguales, solo tal vez te dice que son diferentes.
Y hay un montón de otras cosas que podría hacer: puede verificar la primera oración, puede verificar la cantidad de veces que aparece una determinada palabra o frase, puede verificar cuántos verbos se usan, etc. Todo esto implica tirar diferentes cantidades de información o diferentes tipos de información, pero aún conservando lo suficiente para distinguir los libros.
Eso es lo que hago en matemáticas. Excepto en lugar de libros, trato con cosas infinitamente abstractas que no se pueden entender de una vez, de una manera análoga a solo leer el libro. Así que trabajo en formas de tirar la mayor parte de la información en esas cosas, de modo que quede lo suficiente como para ser lo suficientemente útil como para distinguir las cosas, pero lo suficientemente simple como para comprender nuestras ideas.
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Dependiendo de su compromiso, puede hacer las cosas más interesantes. Por ejemplo, puede relajar la noción muy rígida de “igualdad” en la comparación de libros. En lugar de necesitar equivalencia literal palabra por palabra, suponga que está viendo algo un poco más abarcador, como si la historia tiene la misma estructura dramática (definida en un sentido particular). Entonces, si la primera oración en un libro es “Había una vez un niño llamado Harry Potter”, y la primera oración en el otro libro es: “Había una vez un niño llamado Harold Porter”, entonces los dos libros podrían sigue siendo el mismo, a pesar de la falta de equivalencia literal.
Luego puedes hablar sobre información más abstracta para extraer, como si algún personaje muere alguna vez, o si algún personaje se enamora, o si algún enemigo se convierte en aliado, etc.
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Eso sí, esta respuesta describe una gran franja de matemáticas, y es una respuesta completamente inútil para un matemático. (De hecho, podría limitarse a ser condescendientemente insultante.) De hecho, el lector con inclinación matemática que solo escuchó esta pregunta no sabría en qué área de las matemáticas estaba … ni siquiera más o menos. Podría ser álgebra, podría ser topología, podría ser geometría, podría ser análisis, etc. Por eso digo que es una mentira … no responde a la pregunta.
Pero para un laico, le da una idea de lo que realmente sucede. Y ayuda que sea al menos un poco provocativo: la mayoría de las personas no consideran que “desechar información” sea una actividad que valga la pena.
En cualquier caso, esta respuesta a “¿qué haces?” Es mucho mejor que: “bueno, para entender lo que hago, tienes que saber qué es una variedad”. Básicamente es solo un espacio topológico [matemáticas] X [/ matemáticas], de modo que cada punto [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas] tiene un vecindario [matemáticas] U_x [/ matemáticas] que es homeomorfo a un espacio euclidiano. Sabes lo que es un espacio topológico, ¿verdad? Es solo un conjunto [math] X [/ math] con una distinguida colección de subconjuntos tales que … Oh, ¿tus amigos están aquí? Sí, un placer hablar contigo también.