¿Cómo podemos demostrar la existencia de un objeto sin dar un ejemplo de ese objeto?

Answer 1

Aquí está mi ejemplo favorito de un objeto matemático que se puede demostrar que existe, pero del cual es imposible escribir un ejemplo.

Llame a un número real [math] x [/ math] definible si es posible describirlo inequívocamente en inglés. Cuando digo “describir”, me refiero a algo como esto: “[matemáticas] x [/ matemáticas] es un número positivo cuyo cuadrado es igual a 2.” Esa es una oración en inglés que identifica, únicamente, un número real (la raíz cuadrada de 2). Las definiciones más complicadas pueden requerir múltiples oraciones para describir.

Teorema. Existe un número real que no es definible.

Prueba. El conjunto de textos en inglés es contable, ya que es una unión contable de conjuntos contables. Por lo tanto, el conjunto de textos en inglés que definen números reales es contable y, a su vez, el conjunto de números reales definibles es contable. Por otro lado, el conjunto de números reales es incontable. Por lo tanto, es imposible que cada número real sea definible.

Esto prueba que existe un cierto tipo de número, y está claro que sería imposible escribir un ejemplo específico de dicho número.

Answer 2

Casi cada vez que se invoca el Axioma de Elección, el conjunto (o función) que se utiliza para crear no se puede describir de manera explícita o formal, ya que consiste en innumerables valores que en cierto sentido son arbitrarios.

Véase, por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski.

Answer 3

Para demostrar la existencia de algo, debe definir ese algo . Si necesita un ejemplo, depende de cómo defina “ejemplo”.