Si [math] f_n [/ math] denota el número de permutaciones en [math] S_n [/ math] que tiene exactamente un punto fijo y [math] g_n [/ math] denota el número de alteraciones en [math] S_n [/ math ], ¿cómo muestra que [math] | f_n-g_n | = 1 [/ math]?

Answer 1

Puede calcular [math] f_n [/ math] eligiendo uno de los elementos [math] n [/ math] para corregir y alterar los elementos [math] n-1 [/ math] restantes. Es decir

[matemáticas] f_n = ng_ {n-1} [/ matemáticas]

También en un trastorno donde [math] 1 \ to i [/ math]:

• [math] i \ to1 [/ math] y hay elementos [math] n-2 [/ math] para alterar; o
• [math] i \ to j \ neq1 [/ math] que reduce a [math] n-1 [/ math] elementos para alterar.

Así

[matemáticas] g_n = (n-1) (g_ {n-1} + g_ {n-2}) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow g_n = ng_ {n-1} – (g_ {n-1} – (n-1) g_ {n-2}) [/ math]

[math] \ Rightarrow g_n-f_n = – (g_ {n-1} -f_ {n-1}) [/ math]

Pero [matemáticas] g_2 = 1, f_2 = 0 [/ matemáticas] por lo tanto

[math] g_n-f_n = (- 1) ^ n \ Rightarrow \ left | g_n-f_n \ right | = 1 [/ math]

Esto también muestra que

[matemáticas] g_n = ng_ {n-1} + (- 1) ^ n [/ matemáticas]

[math] g_n [/ math] también se conoce como un subfactorial y a veces se escribe [math]! n [/ math]