Hace poco leí que el diámetro de un círculo colocado en la circunferencia de una esfera es diferente de colocar ese mismo círculo en una hoja de papel bidimensional, lo que implica que si el universo no es “ plano ”, la medición actual de PI no es 3.14159. ¿Es esto cierto? ¿Cómo?

Answer 1

El universo puede no ser “plano” pero nunca “medimos” [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Circunferencia: diámetro

Sea [matemática] R [/ matemática] la relación medida de la circunferencia de un círculo a su diámetro, o incluso la relación idealizada para un círculo perfecto en algún espacio métrico. Lo que probablemente haya leído es que el valor de [matemática] R [/ matemática] en una esfera es menor que el valor de [matemática] R [/ matemática] en una hoja plana o plana. Ambos valores están relacionados, pero son distintos de , la constante matemática [math] \ pi [/ math].

Podríamos decir que [math] R [/ math] es una función de [math] \ pi [/ math], el radio del círculo, [math] r [/ math] y la curvatura del espacio, [math ] \ kappa [/ math]. Es decir

[matemáticas] R = f (\ pi, r, \ kappa) [/ matemáticas]

Las respuestas de David Joyce dan ejemplos de funciones para ciertos espacios. Para un espacio general con curvatura variable, la “función” en realidad debería ser una integral complicada teniendo en cuenta cómo se define un radio constante con una medida potencialmente variable y la longitud de la circunferencia con una medida potencialmente variable, pero nos quedaremos con Una función simple por ahora.

Universo no plano

Si el universo no es plano, puede ser posible medir [matemáticas] R [/ matemáticas] para círculos de diferentes tamaños y deducir algo sobre la curvatura del espacio físico. Estas deducciones supondrán que [math] \ pi [/ math] no cambia. ¿Por qué? ¡Porque la constante matemática no cambia con la física!

Como sucede en el espacio euclidiano (el tipo que se encuentra en una hoja de papel plana), la función para [matemáticas] R [/ matemáticas] es muy simple, incluso trivial. En este espacio:

[matemáticas] \ kappa = 0 [/ matemáticas]

[matemática] R = f (\ pi, r, 0) = \ pi [/ matemática] para cualquier [matemática] r [/ matemática]

Esa es la razón de circunferencia a diámetro para un círculo de cualquier tamaño es [math] \ pi [/ math]. Solíamos pensar que el espacio euclidiano era el único espacio posible, y que esta relación, por lo tanto, era válida para todos los espacios posibles. Como resultado, algunas personas continúan pensando que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es [matemáticas] R [/ matemáticas], pero no lo es.

Velocidad de la luz

Una situación desafortunada similar existe en Física donde hay una constante famosa que, entre otras cosas, relaciona la masa con la energía a través de la ecuación conocida

[matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]

La constante [matemática] c [/ matemática] generalmente se conoce como la “velocidad de la luz” o, si es preciso, “la velocidad de la luz en el vacío”. En realidad, es una constante fundamental de la Teoría general de la relatividad de manera similar a [math] \ pi [/ math] como una constante matemática fundamental. La velocidad de la luz es igual a [matemática] c [/ matemática] de manera similar a la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro en el espacio euclidiano que resulta ser [matemática] \ pi [/ matemática]. Pero [math] c [/ math] aparece en toda la Teoría de la Relatividad de una manera similar a [math] \ pi [/ math] aparece en todas las Matemáticas de maneras completamente ajenas a los círculos o incluso a la Geometría.

Answer 2

Los que no son matemáticos (y, de hecho, algunas personas que dicen ser matemáticos pero obviamente mienten) discutirán acaloradamente contra mí por lo que estoy a punto de decir, porque es una cosa que los no matemáticos creen saber sobre las matemáticas, que en realidad es completamente incorrecto:

Pi no se define como la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro. En cambio, cuando un círculo está incrustado en el espacio euclidiano , entonces la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es igual a pi.

Hay algunos hilos en Quora donde se afirma que “en el espacio no euclidiano, donde la geometría se comporta de manera diferente, pi es diferente de 3.14159 …” Esto es incorrecto, pero tratar de argumentar en contra de las personas que creen que esto es como tratar de persuadir a un Teísta que su dios es imaginario.

Answer 3

Hay una diferencia entre curvatura plana y cero, y pi es de hecho el valor publicado.

Si mide con una cuerda, digamos, la circunferencia y el diámetro de un círculo en una esfera, la relación de C / D es menor que pi. De hecho, puede obtener C / D = 2 en el caso donde el círculo es el ecuador y D se domina sobre los polos.

La medida pi- (C / D) tiene el mismo signo que la curvatura, lo que equivale aproximadamente a 1 / r² para esferas reales. El límite de C / D a medida que D se reduce es PI, uno puede pensar en él como un espacio de polígono cada vez mayor.

“Plano” y “recto” tiene un significado ligeramente diferente. Una línea recta que pasa por el centro de un círculo dividirá la circunferencia cuando se mida en pulgadas (en lugar de grados). En la gravedad de Einstein, hay más pulgadas por grado más cerca de una estrella, y por qué la luz se desvía hacia la estrella y aún viaja en línea recta.

Del mismo modo, si viajas en línea recta por la tierra, en realidad te estás moviendo en el arco de un círculo que tiene un centro en el mismo lugar que la superficie de la tierra.

Pero en la geometría no euclidiana, Euclidiana es el límite a medida que las cosas se vuelven pequeñas, y el límite de D / C es PI.

Answer 4

El número π es el número π . Incluso en geometrías que tienen curvatura positiva o negativa, el número π está involucrado. En otras geometrías, sin embargo, las fórmulas para la circunferencia y el área de un círculo no son tan simples.

Si dibuja un círculo con un radio dado [matemáticas] r [/ matemáticas] en un plano hiperbólico con curvatura negativa constante [matemáticas] – \ kappa, [/ matemáticas], entonces el área de ese círculo es

[matemáticas] A = \ frac {2 \ pi} \ kappa (\ cosh (r \ sqrt \ kappa) -1) [/ matemáticas]

y su circunferencia es

[matemáticas] C = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt \ kappa} \ sinh (r \ sqrt \ kappa) [/ matemáticas]

Aquí [math] \ cosh [/ math] y [math] \ sinh [/ math] son ​​el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico, respectivamente.

Para un plano elíptico con curvatura positiva constante [matemática] \ kappa, [/ matemática] se aplican las mismas fórmulas, excepto que los cosenos y senos hiperbólicos se reemplazan por cosenos y senos ordinarios.

Answer 5

Para un círculo plano, la razón de la circunferencia al diámetro es la constante pi.

Para otras superficies es como una cantidad variable. En una esfera que usa grandes arcos circulares, se puede dibujar un círculo donde la razón de la circunferencia al diámetro es 2. En general, cuanto más pequeño es el círculo, más cercana a pi está esa relación.