Las probabilidades de que dos puntos aleatorios se encuentren en el mismo lado del cuadrado resp. en los lados opuestos están [math] \ frac {1} {4} [/ math] (elija uno, luego para el segundo tiene 4 posibilidades, 2 vecinas y una opuesta, y 1 igual).
Si dos lados son opuestos, la distancia entre ellos siempre es al menos [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática].
Si dos lados son vecinos, podemos elegir el sistema de coordenadas en el que un punto tiene coordenadas [matemáticas] (0, a) [/ matemáticas] y el otro [matemáticas] (b, 0) [/ matemáticas]. Es decir, la distancia es menor que [math] \ frac {1} {2} [/ math] viene dada por el loci [math] \ {(a, b) \ in [0,1] ^ 2: a ^ 2 + b ^ 2 \ leq \ frac {1} {4} \} [/ math]. Como [math] a, b [/ math] se distribuyen de manera independiente y uniforme, esta probabilidad es igual a [math] \ frac {1} {4} [/ math] del área del círculo con el radio [math] \ frac { 1} {2} [/ math], es decir, [math] \ frac {\ pi} {16} [/ math].
Por lo tanto, la probabilidad del evento complementario viene dada por [matemáticas] 1- \ frac {\ pi} {16} [/ matemáticas].
Si los puntos se encuentran en el mismo lado, tenemos la imagen geométrica [matemáticas] \ {(a, b) \ en [0,1] ^ 2: | ab | \ geq \ frac {1} {2} \} [/ math]. El área de esta forma (dos triángulos rectángulos con las patas [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática]) es [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática].
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Así tenemos [matemática] P = \ frac {1} {4} + \ frac {1} {2} (1 – \ frac {\ pi} {16}) + \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {26- \ pi} {32} [/ math].
[matemáticas] a + b + c = 59 [/ matemáticas]