En el triángulo ABC, AB = 16, AC = 15 y BC = 13. El punto D está en AB, y el punto E está en AC, de modo que DE divide en dos el área y el perímetro del triángulo ABC. ¿Qué es DE ^ 2?

En el triángulo ABC, AB = 16, BC = 13 y CA = 15. D es un punto en AB y E es un punto en AC. Triángulo ADE es la mitad de ABC en el área. El perímetro de ADE es la mitad de ABC, ¿qué es DE ^ 2?

Triángulo ABC: s- [13 + 15 + 16] / 2 = 22. Por área de fórmula de Heron de ABC = [22 (22–13) (22–15) (22–16)] ^ 0.5 = [22x9x7x6] ^ 0.5 = 8316 ^ 0.5 = 91.19210492 unidades cuadradas.

Área de ABC = (bc sin A) / 2 = [(15 × 16) / 2] * sin A = 91.19210492, o

sen A = 91.19210492 * 2/240 = 0.759934207, o <A = arco sin 0.759934207 = 49.45839813 deg.

Por lo tanto, el área ADE = 91.19210492 / 2 = 45.59605246 unidades cuadradas.

En el triángulo ADE, área = (AD * AE * sin A) / 2 = (AD * AE * 0.759934207) / 2 = 45.59605246. Por lo tanto (AD * AE) = 45.59605246 * 2 / 0.759934207 = 120.

Perímetro de ADE = 22.

Los triángulos ABC y ADE son similares porque AB * AC = 15 * 16 = 240 y AD * AE = 120. Entonces AD = AB / 2 y AE = AC / 2. Por lo tanto, DE debe ser BC / 2 o 13/2 = 6.5.

Verifique el perímetro de ADE que es = 8 + 7.5 + 6.5 = 22.

Por lo tanto, DE ^ 2 = 6.5 ^ 2 = 42.25

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No estoy seguro de cómo podríamos proporcionar una solución geométrica pura, pero si nos permitimos tomar algunas fórmulas de la trigonometría (soluciones de triángulos), entonces se ve una solución.

Deje AD = x, AE = y, y DE = x. Además, según las convenciones trigonométricas, BC = a. AC = b, y AB = c.

Tenemos tres ecuaciones para las tres incógnitas:

[matemáticas] x + y + z = 22 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + y ^ 2 – z ^ 2} {2xy} = \ cos A [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {Área (ABC)} {xy} = \ sin A [/ matemáticas]

Resolverlos produciría el valor de z.

Anshul Shenwai

Deje DB = x y EC = y

Escriba el área del triángulo ADE como 1/2 * (AD * AE) * sinA, que es la mitad del área del triángulo ABC, es decir, 1/2 * (AB * AC) * sinA

También x + y + 13 = 1/2 * (16 + 15 + 13)

Entonces obtienes dos ecuaciones en x e y, resuélvelas para obtener x = 6 e y = 3.

Luego, aplica la regla del coseno al ángulo A con respecto a los triángulos ADE y ABC