¿Existe un significado geométrico de la ortogonalidad de dos funciones? Si es así, ¿qué es?

Answer 1

Las funciones también son como vectores. La única diferencia es que los vectores son de dimensión finita (generalmente de 2 o 3 dimensiones), pero las funciones son vectores de dimensión infinita (si (1,2,3) es un vector 3D, entonces una función escrita en una notación vectorial podría ser (f (1) … f (1.2)… .f (5.5)… ..f (97.88) …… ..hasta el infinito). Entonces tienen dimensiones infinitas. Esto significa dos cosas

1. Al igual que necesitamos 3 vectores ortogonales para representar cualquier otro vector en el espacio 3D, necesitaremos un conjunto de funciones ortogonales infinitas para representar cualquier función aleatoria. ¿Cómo decir si dos funciones son ortogonales?
2. Al igual que determinamos la ortogonalidad de dos vectores comprobando que su producto escalar es cero, para las funciones verificamos que cierta integral sea cero. Esta integral nos dice que f (x) es ortogonal a g (x) entre aa b.

Un famoso ejemplo de tales funciones es sin (x), sin (2x), sin (3x)….

cuando

Esto nos permite escribir la serie de Fourier. Del mismo modo, otras funciones ortogonales nos ayudan a escribir otras representaciones en serie de la función. La publicación original fue publicada aquí.

¿Cómo pueden las funciones ser ortogonales?

Answer 2

Pues sí y no.

---

No porque –
La ortogonalidad depende de la noción de productos internos en un espacio vectorial (específicamente, un espacio interno de productos). Es un concepto abstracto de algbraico del cual los vectores físicos son solo un ejemplo. Para el ejemplo que ha mencionado, el espacio de todas las funciones continuas de [math] [a, b] \ mapsto \ mathbb {R} [/ math] es un espacio vectorial sobre el campo [math] \ mathbb {R} [/ matemática], donde la suma de vectores se define como [matemática] \ forall f, g \ in \ mathbb {V}, h (x) = f (x) + g (x) \ forall x \ in [a, b] [ / matemáticas] y la multiplicación escalar es bastante intuitiva. Bajo estas operaciones [math] \ mathbb {V} [/ math] es un espacio normado. Por lo tanto, el producto interno de cualesquiera 2 vectores (léase: funciones) en este espacio existe y se define precisamente por la definición que escribió en los detalles de su pregunta. Entonces, se dice que 2 vectores en este espacio son ortogonales si su producto interno es 0.

Sí porque –
Los espacios vectoriales de la misma dimensión finita son isomorfos entre sí. Es decir, existe una biyección entre los vectores de estos 2 espacios y lo que sea cierto para uno, es cierto para el otro. Esto ayuda mucho, por ejemplo, a pensar en números complejos como vectores en un plano 2D, ambos espacios tienen dimensión 2, aunque técnicamente no son el mismo espacio. Entonces, uno puede interpretar la ortogonalidad de las funciones como algo similar a la ortogonalidad de los vectores físicos en un espacio de alta dimensión, pero uno debe recordar dónde dibujar la línea (sin juego de palabras: P). Esto es todo lo que es, una interpretación . No puede considerarse riguroso y bien fundado a menos que demuestre isomorfismo entre los 2 espacios.