Aunque todavía no veo cómo demostrarlo directamente, hay una respuesta computacional clara a su pregunta.
Deje [math] x = \ frac {Z} {Y} \ in \ mathbf {Q} [/ math] y [math] y = \ frac {X} {Y} \ in \ mathbf {Q} [/ math]
Luego puedes escribir la ecuación en la forma:
[matemáticas] x ^ 3-6xy -3y ^ 3-3 = 0 [/ matemáticas]
- ¿Todas las matemáticas funcionan perfectamente juntas?
- Sea (x, d) un espacio métrico y un subconjunto y de x. supongamos que el subconjunto g de x está abierto; muestra que la intersección G Y está abierta en (Y, d). Por el contrario, demuestre que si el subconjunto G1 de Y está abierto en (Y, d), hay un subconjunto G abierto de X tal que G1 = G intersección Y?
- Cómo encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac 1 {1 + x ^ 2} \ cdot \ sqrt {\ frac {x ^ 3} {1-x}} \ dx [/ math] usando un corte de rama de 0 a 1
- ¿Cómo se puede resolver la inecuación [matemáticas] \ dfrac {2 \ cos x-1} {2 \ cos x + \ sqrt {3}} \ geq 0 [/ matemáticas]?
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Esta ecuación define un plano liso cúbico [matemático] C [/ matemático] con un punto racional [matemático] (0, -1) [/ matemático].
Su pregunta se reduce a si existen otros puntos racionales (solo le interesan los puntos positivos).
De hecho, un plano cúbico liso con un punto distinguido es biracionalmente equivalente a una curva elíptica. Y esta equivalencia biracional viene dada por transformaciones con el numerador lineal y el denominador. Por lo tanto, conserva la racionalidad de los números.
Los puntos racionales en la curva elíptica forman un grupo abeliano de rango finito (véase el teorema de Mordell-Weil), es decir, [matemática] E \ cong \ mathbf {Z} ^ {r} \ oplus T [/ matemática], donde [matemática] T [/ math] es un grupo finito (llamado torsión).
Por lo tanto, [math] r = 0 [/ math] significa que hay un número finito de puntos racionales. En este caso, el número de soluciones viene dado por [math] \ # T [/ math].
Y Sage (software matemático) hace todo el trabajo por mí.
salvia: var (“xy z”)
(x, y, z)
salvia: R. = QQ []
salvia: f = R (x ^ 3-3 * y ^ 3-6 * x * y * z-3 * z ^ 3)
salvia: P = (0, -1,1)
salvia: E2 = curva elíptica_de_cubico (f, P)
salvia: E2
Esquema de morfismo:
De: Subesquema cerrado del espacio proyectivo de dimensión 2 sobre campo racional definido por:
x ^ 3 – 3 * y ^ 3 – 6 * x * y * z – 3 * z ^ 3
Para: Curva elíptica definida por y ^ 2 + 4 * x * y = x ^ 3 – 15/2 * x ^ 2 + 3/4 * x – 1/24 sobre Campo racional
Defn: Definido en coordenadas enviando (x: y: z) a
(-1 / 2 * y – 1/2 * z: 1/2 * y + 3/2 * z: 2 * x – 3 * y – 3 * z)
salvia: E = curva elíptica ([4, -15 / 2,0,3 / 4, -1 / 24])
salvia: E
Curva elíptica definida por y ^ 2 + 4 * x * y = x ^ 3 – 15/2 * x ^ 2 + 3/4 * x – 1/24 sobre el campo racional
salvia: E.rank ()
0 0
sage: tor = E.torsion_points ()
sabio: tor
[(0: 1: 0)]
Como puede ver, este cúbico es biracionalmente equivalente a la curva elíptica
[matemáticas] y ^ 2 + 4x y = x ^ 3 – \ frac {15} {2} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x – \ frac {1} {24} [/ matemáticas]
y que el mapa biracional se da en coordenadas proyectivas por:
[matemática] (x: y: z) \ mapasto [/ matemática] [matemática] \ begin {pmatrix} – \ frac {1} {2} y – \ frac {1} {2} z: & \ frac {1 } {2} y + \ frac {3} {2} z: & 2x – 3y – 3z \ end {pmatrix} [/ math]
Entonces el rango es 0 y la torsión es trivial (consiste solo en el punto distinguido). Por lo tanto, [matemática] C [/ matemática] no tiene otros puntos racionales, y su ecuación no tiene otras soluciones enteras, mucho menos naturales.