¿Cómo se puede resolver la inecuación [matemáticas] \ dfrac {2 \ cos x-1} {2 \ cos x + \ sqrt {3}} \ geq 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Cómo puede ver en un máximo de 3 segundos que esto es equivalente a:

[matemática] \ cos x <- \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemática] o [matemática] \ cos x \ geq \ frac {1} {2} [/ matemática]?

Dejame darte un ejemplo.

Supongamos que quieres resolver:

[matemáticas] \ sin (2x- \ pi / 3) \ leq \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Primero sustituye una variable [math] y = 2x- \ frac {\ pi} {3} [/ math]

Entonces tienes [math] \ sin y \ leq \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math]

Ahora busquemos ángulos que satisfagan esta ecuación en el círculo unitario.

Primero debe encontrar puntos en el círculo de la unidad con [math] y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math]. Recuerde que [math] \ sin [/ math] corresponde al eje vertical y [math] \ cos [/ math] al horizontal.

Claramente, los senos de los ángulos que corresponden a [matemáticas] y \ leq \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas] se encuentran debajo de estos puntos.

¿Cómo se pueden describir todos estos ángulos (naranja)? Hay muchas maneras.

Debe recordar que comienza a medir ángulos desde el eje horizontal en sentido antihorario.

En particular, verá que los ángulos [matemática] 0 \ leq y \ leq \ frac {\ pi} {3} [/ matemática] satisfacen el requisito. Luego hay un sector que no satisface la desigualdad (es decir, ángulos de [matemática] \ frac {\ pi} {3} <y <\ pi – \ frac {\ pi} {3} [/ matemática]).

Y luego los ángulos de [math] \ pi – \ frac {\ pi} {3} \ leq y \ leq 2 \ pi [/ math] satisfacen la desigualdad nuevamente.

Entonces obtenemos dos rangos de ángulo [matemática] 0 \ leq y \ leq \ frac {\ pi} {3} [/ matemática] y [matemática] \ pi – \ frac {\ pi} {3} \ leq y \ leq 2 \ pi. [/ matemáticas]

Pero ves que la solución (ángulos en arco naranja) es solo un arco. Entonces podemos fusionar estos dos rangos usando que el período de [math] \ sin [/ math] es [math] 2 \ pi [/ math].

En lugar de decir [matemáticas] 0 \ leq y \ leq \ frac {\ pi} {3} [/ matemáticas] también puede decir [matemáticas] 2 \ pi \ leq y \ leq 2 \ pi + \ frac {\ pi } {3}. [/ Matemáticas]

Ahora tiene un rango contiguo de ángulos [matemática] \ pi – \ frac {\ pi} {3} \ leq y \ leq 2 \ pi + \ frac {\ pi} {3} [/ matemática] o [matemática] \ frac {2 \ pi} {3} \ leq y \ leq \ frac {7 \ pi} {3}. [/ math]

Este patrón se repite si se ejecuta sobre un círculo con un punto [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas].

Entonces, en realidad tiene [matemáticas] \ frac {2 \ pi} {3} + 2 \ pi k \ leq y \ leq \ frac {7 \ pi} {3} + 2 \ pi k [/ matemáticas] donde [matemáticas] k \ in \ mathbf {Z}. [/ math]

Recuerde ahora [math] y = 2x- \ frac {\ pi} {3}. [/ Math]

Entonces tienes [math] \ frac {2 \ pi} {3} + 2 \ pi k \ leq 2x- \ frac {\ pi} {3} \ leq [/ math] [math] \ frac {7 \ pi} {3} + 2 \ pi k [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] \ pi + 2 \ pi k \ leq 2x \ leq [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {8 \ pi} {3} + 2 \ pi k [/ matemáticas]

Por lo tanto:
[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \ leq x \ leq [/ matemáticas] [matemáticas] ~ \ frac {4 \ pi} {3} + \ pi k. [/ matemáticas]

Hemos terminado.

Answer 2

Permítanme simplificar la solución para este problema.
Tomando el dominio para la x como [-pi / 2, pi / 2]

Entonces, 2cosx-1> = 0
o cosx> = 1 ÷ 2

O x se encuentra en [-pi / 3, pi / 3]

Entonces, para los valores anteriores de x … la desigualdad dada se mantiene correcta, siempre que el dominio esté restringido anteriormente.

Como el coseno es una función periódica, por lo tanto, utilizando el enfoque de solución general de la función coseno, la desigualdad anterior se puede resolver para todos los valores de x en R.

Answer 3

En primer lugar, factorizar 2 del numerador y denominador y escribir la desigualdad de esta manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ cos {x} – \ frac {1} {2}} {\ cos {x} + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ ge 0 [/ math]

Ahora podemos resolver por separado la desigualdad

[matemáticas] \ cos {x} = \ frac {1} {2} \ ge 0 [/ matemáticas]. Por el momento, limite las soluciones al intervalo [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas]

Esta desigualdad es satisfecha por

[matemáticas] x \ en P_1 = [0, \ frac {\ pi} {3}] \ cup [\ frac {5 \ pi} {3}, 2 \ pi] [/ matemáticas]

Siguiente vistazo al denominador por separado:

[matemáticas] \ cos {x} \ gt – \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Observe que excluyo los puntos cero aquí al cambiar [math] \ ge [/ math] a [math] \ gt [/ math]

La solución a esta desigualdad separada en el intervalo [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas] es

[matemáticas] x \ en P_2 = [0, \ frac {5 \ pi} {6}) \ cup (\ frac {7 \ pi} {6}, 2 \ pi] [/ matemáticas]

A continuación, debemos considerar el conjunto cero del denominador:

[matemáticas] Z = \ {\ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {7 \ pi} {6} \} [/ matemáticas]

Habiendo encontrado los conjuntos positivos de cada parte, ahora queremos los conjuntos negativos de cada parte:

[matemáticas] N_1 = [0,2 \ pi] \ setminus P_1 = [\ frac {\ pi} {3}, \ frac {5 \ pi} {3}] [/ matemáticas]

[matemáticas] N_2 = ([0,2 \ pi] \ setminus Z) \ setminus P_2 = (\ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {7 \ pi} {6}) [/ matemáticas]

La solución a la desigualdad es cuando ambas partes son positivas o ambas son negativas:

[matemáticas] x \ in (P_1 \ cap P_2) \ cup (N_1 \ cap N_2) [/ math]

Answer 4

El denominador puede ser positivo o negativo. Para mantener el mismo signo de desigualdad, debemos multiplicar ambos lados por una cantidad positiva, que es [math] (2cosx + \ sqrt3) ^ 2 [/ math]

Obtenga los valores requeridos de cosx para los que se mantiene la desigualdad y luego dibuje el gráfico y encuentre los puntos críticos. Lo he hecho a continuación. En el gráfico, encuentre los valores de x para los cuales se mantiene la desigualdad de valores de cosx. Por ejemplo entre, [matemáticas] x = -60 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 60 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] cosx> 0.5 [/ matemáticas]