Cómo resolver la ecuación sin2x = cos3x

Answer 1

[matemáticas] \ sin \ left (2x \ right) = \ cos \ left (\ frac \ pi 2 – 2x \ right) [/ math]

Entonces:
[matemática] \ cos \ left (\ frac \ pi 2 – 2x \ right) = \ cos (3x) [/ math]

Ahora sabemos que [math] \ cos (x) = \ cos (\ pm x) [/ math] porque el coseno es una función par. Entonces vemos que
[matemática] \ left (\ frac \ pi 2 – 2x \ right) = \ pm 3x [/ math]

yo)
[matemáticas] \ frac \ pi 2 = 5x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac \ pi {10} [/ matemáticas]

ii)
[matemáticas] \ frac \ pi 2 = -x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ frac \ pi 2 [/ matemáticas]

Del mismo modo, [matemáticas] \ sin \ left (2x \ right) = \ sin \ left (2x -2 \ pi \ right) = \ cos \ left (\ frac \ pi 2 – 2x-2 \ pi \ right) [/ matemáticas]

Entonces vemos que
[matemática] \ left (\ frac \ pi 2 – 2x-2 \ pi \ right) = \ pm 3x [/ math]

iii)
[matemáticas] \ frac \ pi 2-2 \ pi = 5x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ frac 3 {10} \ pi [/ matemáticas]

iv)
[matemáticas] \ frac \ pi 2 -2 \ pi = -x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 \ pi- \ frac \ pi 2 = \ frac 3 2 \ pi [/ matemáticas]

Finalmente, notamos que las soluciones deben repetir cada [math] 2 \ pi [/ math] porque las funciones originales se repiten cada [math] 2 \ pi [/ math]. (La función seno tiene un período [matemático] \ pi [/ matemático] por lo que ha completado exactamente dos períodos en un intervalo de longitud [matemática] 2 \ pi [/ matemático]. El coseno tiene un período [matemático] \ frac 2 3 \ pi [/ math] por lo que ha completado exactamente tres períodos en un intervalo de longitud [math] 2 \ pi [/ math]. Por lo tanto, ambas funciones repiten cada [math] 2 \ pi [/ math] para que cada solución repita cada [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas].)

Entonces obtenemos [math] \ forall n \ in \ mathbb N [/ math]:
i) [matemáticas] x = \ frac \ pi {10} +2 \ pi n [/ matemáticas]
ii) [matemáticas] x = – \ frac \ pi 2 + 2 \ pi n [/ matemáticas]
iii) [matemáticas] x = – \ frac 3 {10} \ pi + 2 \ pi n [/ matemáticas]

(Tenga en cuenta que la solución (iv) es redundante ya que [matemática] \ frac 3 2 \ pi +2 \ pi n = – \ frac \ pi 2 + 2 \ pi (n + 1) [/ matemática].)

Entonces concluimos que hay realmente tres soluciones y luego las extensiones periódicas de esas tres soluciones.

Answer 2

Sin2x = cos3x
Pero sinx = cos (pi / 2 – x)
Entonces sen2x = cos (pi / 2 – 2x)
Por lo tanto
cos (pi / 2 – 2x) = cos3x
CosA = cos (2n.pi + A) (1)
CosA = cos (2n.pi-A) (2)
Caso 1
Pi / 2 -2x = 2n.pi + 3x, ponga m = -n
(4m + 1) pi / 2 = 5x
x = (4m + 1) .pi / 10 Put m = {0,1,2,3,4} + 5k
x = pi ({1,5,9,13,17}) / 10 + 2k.pi
Caso 2
Pi / 2 -2x = 2n.pi – 3x
x = pi (2n -1/2)
x = pi (2-1 / 2) + 2k.pi
x = pi (15/10) + 2k.pi

Entonces el conjunto de soluciones es
x = pi ({1,5,9,13,15,17}) / 10 + 2k.pi
Tenga en cuenta que k puede ser negativo y por lo tanto
También es cierto que
x = pi ({1,5,9,13,15,17} -20) / 10 + 2k.pi
x = -pi ({3,5, 7, 11,15,19}) / 10+ 2k.pi

Compruébalo, ¿he cometido un error?

Creo que este es un sonido agradable si se interpreta musicalmente
(Sin2x-cos3x)

Answer 3

Dado sen2x = cos3x
sin2x-cos3x = 0

Expandir Cos (3x)
Cos (3x) = cos (x + 2x)
cos (3x) = cos (x) * cos (2x) – sin (x) * sin (2x)
cos (3x) = cos (x) * cos (2x) – 2sin ^ 2 (x) * cos (x)

Volveremos a ese cos (2x). Es mejor no tener mucha prisa.

Igualar pecado (2) a cos (3x)
sin (2x) – cos (3x) = 0
sin (2x) = cos (3x)
2sin (x) * cos (x) = cos (x) * cos (2x) – 2 * sin ^ 2 (x) * cos (x)

Divide cos (x)
2sin (x) * cos (x) = cos (x) * cos (2x) – 2 * sin ^ 2 (x) * cos (x)
2sin (x) = cos (2x) – 2 * sin ^ 2 (x)

Cos (x) es un factor común en los tres términos. Si es igual a cero, entonces el
desorden completo = 0. Cos (x) es cero para 2 valores entre 0 y 2 pi. Estos valores son pi / 2 y 3/2 pi. Tenga en cuenta que hay dos de sus respuestas. Ahora es seguro continuar con el cos (x) dividido.

Resultado x = pi / 2 y 3/2 pi.
cambie Cos (2x) a 1 – 2sin ^ 2 (x)

2sin (x) = cos (2x) – 2 * sin ^ 2 (x)
2sin (x) = 1 – 2 sin ^ 2 (x) – 2 * sin ^ 2 (x)
4sin ^ 2 (x) + 2sin (x) – 1 = 0

Ponga los resultados en el cuadrático.
a = 4
b = 2
c = -1

Sin (x) = (-2 +/- raíz_cuadrada (2 ^ 2 – 4 * (- 1) * 4)) / 8
sin (x) = 0.30902 y sin (x) = -0.80902

Encuentra Sin-1 (0.30902) en grados. Luego convierta esto a radianes.

sin-1 (0.30902) = 18 grados.

180 grados = pi radianes
180 grados = x
x = 0.1 pi radianes. Hay otra respuesta.

El seno de un ángulo es positivo en el segundo cuadrante.

pi – 0.1 pi = 0.9 pi radianes.

Hay una segunda solución.

Las dos soluciones que salen del paso seis son
0.1 radianes y
0.9 radianes

Ayuda de trigonometría en línea

Answer 4

Una forma intuitiva es resolverlo gráficamente. Simplemente trace en [math] xy [/ math] -plane, blue = [math] \ sin {2x} [/ math] y green = [math] \ cos {3x} [/ math]. Verá el siguiente comportamiento:
Entonces, la [matemática] x [/ matemática] -coordinada de los puntos donde estas dos curvas, o funciones para ser más precisas, se cruzan entre sí, son las soluciones de su ecuación [matemática] \ sin {2x} = \ cos {3x }[/matemáticas].

Answer 5

A veces, los “grados” son mucho más amigables que los “radianes”.

Este es un caso así.

Si cos (3x) = sin (2x)

entonces cos (3x) = cos (90 – 2x)

entonces 3x = +90 – 2x + 360n o 3x = – (90 – 2x) + 360n

5x = 90 + 360n O x = –90 + 360n

x = 18 + 72n O x = –90 + 360n

x = 18, 90, 162, 234, 306, 376…. O x = –90, 270, 630, 990….

Solo como un cheque, las soluciones están claramente representadas en el gráfico de

y = cos (3x) – sin (2x)

Answer 6

[matemática] \ cos x = \ cos a [/ matemática] tiene soluciones [matemática] x = \ pm a + 360 ^ \ circ k [/ matemática] para entero [matemática] k [/ matemática]

[matemáticas] \ sin 2x = \ cos 3x [/ matemáticas]

[matemática] \ cos (90 ^ \ circ – 2 x) = \ cos 3x [/ matemática]

[matemáticas] 90 ^ \ circ – 2x = \ pm 3x + 360 ^ \ circ k [/ matemáticas]

[matemáticas] -2x \ pm 3x = -90 ^ \ circ + 360 ^ \ circ k [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -90 ^ \ circ + 360 ^ \ circ k [/ matemáticas] o [matemáticas] -5x = -90 ^ \ circ + 360 ^ \ circ k [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -90 ^ \ circ + 360 ^ \ circ k [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 18 ^ \ circ + 72 ^ \ circ k [/ matemáticas]

Answer 7

Convierta sin a cos por desplazamiento de fase y luego tendrá el tipo de ecuación cos a = cos b que debería ser lo suficientemente fácil de resolver.
El cambio de fase en este caso es básicamente [matemática] sin (t) = cos (\ pi / 2 – t) [/ matemática]