¿Hay alguna mejor prueba para [matemáticas] x ^ n \ equiv 1 \ pmod {(x-1)}? [/ Matemáticas]

Answer 1

Un poco más formalmente, tenemos eso

[matemáticas]
\ begin {align}
x ^ n-1 & = (x-1) (x ^ {n-1} +… + 1) \\
& = (x-1) \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} x ^ k
\ end {alinear}
[/matemáticas]
(puede probar esto por inducción o simplemente dividiendo los dos polinomios).

Por lo tanto, [math] x ^ n = (x-1) Q (x) + 1 [/ math], lo que implica que [math] x ^ n \ equiv 1 \, (\ text {mod} x-1) [/ matemáticas]

Probemos la primera igualdad por inducción:

El caso [matemática] n = 1 [/ matemática] es bastante sencillo: [matemática] x-1 = x-1 [/ matemática]

Caso [matemática] n = 2 [/ matemática]: [matemática] x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) [/ matemática]

Supongamos que es cierto para [matemáticas] n [/ matemáticas], es decir [matemáticas] x ^ n-1 = (x-1) (x ^ {n-1} + \ dots + 1) [/ matemáticas], nosotros debe probarlo para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas].

[matemáticas]
\ begin {align}
& (x-1) (x ^ {n} + \ puntos + 1) \\
& = (x-1) (x ^ {n-1} + \ dots + 1) + (x-1) x ^ n \\
& = x ^ n-1 + (x-1) x ^ n \\
& = x ^ n -1 + x ^ {n + 1} – x ^ n \\
& = x ^ {n + 1} – 1 \\
&\cuadrado
\ end {alinear}
[/matemáticas]

Answer 2

Otra forma de ver esto es considerando el polinomio [math] x ^ n – 1 [/ math]. El polinomio tiene un cero obvio en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Esto significa que [matemática] x ^ n – 1 [/ matemática] es divisible por [matemática] x-1 [/ matemática], que es lo mismo que decir que [matemática] x ^ n-1 \ equiv 0 \ mod { (x-1)} [/ matemáticas]. Agregar [matemática] 1 [/ matemática] a ambos lados de esta ecuación da la ecuación en la pregunta original.

Answer 3

La prueba es bastante simple.

[matemáticas] x = (x-1) +1 \ equiv 1 \ pmod {x-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ n \ equiv 1 ^ n \ equiv 1 \ pmod {x-1} [/ matemáticas]

También gracias por tomarse el tiempo para mostrar todo su trabajo, muy pocas personas en quora parecen usar los detalles de la pregunta.

Es importante que vea una prueba de por qué [matemáticas] a_1 \ equiv b_1, a_2 \ equiv b_2 \ Rightarrow a_1a_2 \ equiv b_1b_2 \ pmod m [/ math]

Si no se siente cómodo con la aritmética modular y prefiere una solución algebraica, puede consultar las otras excelentes respuestas.

Answer 4

x ^ n = (x-1 + 1) ^ n, que es una expresión binomial y se expande en
-> n C 0 (x-1) ^ n + n C 1 (x-1) ^ n-1 (1) ^ 1… + n C n-1 (x-1) ^ 1 (1) ^ (n- 1) + n C n (1) ^ n

Claramente todos los términos tienen excepto el último (negrita) tienen una expresión (x-1). Por lo tanto, todo será divisible por (x-1). Último término, es decir, n C n (1) ^ n = 1 que cuando se divide por x-1 deja un resto de 1.

Por lo tanto, x ^ n mod x-1 = 1

Answer 5

Suma de un GP con diferencia común x y que tiene n términos =>
1 + x + x ^ 2 +… = (x ^ n – 1) / (x – 1)
(x ^ n) / (x-1) =
(1 / (x-1)) + {[(x-1) (1 + x + x ^ 2 +…)] / (x-1)}
| ___________________________ |
divisible por (x-1)

Por lo tanto, está claro x ^ n == 1 [matemática] mod (x-1) [/ matemática]

Answer 6

Decir que [matemática] x ^ n [/ matemática] es congruente con [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] x-1 [/ matemática] es lo mismo que decir que [matemática] x-1 [/ matemáticas] divide equitativamente [matemáticas] x ^ n-1. [/ matemáticas] Eso se desprende de la identidad

[matemáticas] x ^ n-1 = (x-1) (x ^ {n-1} + x ^ {n-2} + \ cdots + x + 1) [/ matemáticas]

Tu argumento para eso está bien. También puede probarlo por inducción o expandiendo los productos en el lado derecho de la ecuación.