Cómo encontrar la forma cerrada de la suma [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ frac {(-1) ^ k} {k + 1} \ binom {n} {k} [/ matemáticas]

Answer 1

Responder

Wolfram alpha dio esta respuesta: [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n {n \ elegir k} \ frac {1} {k + 1} = \ frac {-n} {n + 1} [/ matemáticas]

Prueba

1. La identidad binomial , con [matemáticas] y = -1 [/ matemáticas], da: [matemáticas] (x-1) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} x ^ k (- 1) ^ {nk}. [/ Math]
2. Integre ambos lados, término por término, entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas]
3. Use el hecho de que [matemáticas] \ int_0 ^ 1 (x + a) ^ {k} dx = \ frac {(a +1) ^ {k + 1} -a ^ {k + 1}} {k + 1} [/ math] para cualquier número entero positivo [math] k [/ math] y cualquier número [math] a [/ math]. Luego, evalúe para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas].
4. Divide ambos lados entre [matemáticas] (- 1) ^ {n} [/ matemáticas] y usa el hecho de que [matemáticas] (- 1) ^ {- 1} = – 1 [/ matemáticas]
5. Reste el término [matemática] k = 0 [/ matemática] de ambos lados

Por lo tanto , obtienes:

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n {n \ elige k} \ frac {1} {k + 1} = \ frac {1} {n + 1} -1 [/ matemáticas]

tú eres bueno para irte. Espero que esto haya sido útil.

---

Fuentes:

• https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%7B%28-1%29%5Ek%2F % 28k% 2B1% 29% 7D
• Teorema binomial