¿Cuál es el volumen del sólido generado al girar las regiones delimitadas por las gráficas de [math] y = \ sqrt x [/ math], [math] y = 0 [/ math], [math] x = 3 [/ matemáticas] sobre el eje y?

Answer 1

Para obtener el volumen para la rotación sobre el eje y, vemos que el radio externo del disco de sección transversal para cualquier valor de [math] y \ in (0, \ sqrt 3) [/ math] es 3 y el interno el radio es [matemática] y ^ 2 [/ matemática]. Entonces, el área es [matemática] A (y) = \ pi (9-y ^ 4) [/ matemática]. Esta área se integra para encontrar el volumen:
[matemáticas] V = \ int_0 ^ {\ sqrt 3} \ pi (9-y ^ 4) dy [/ matemáticas] [matemáticas] = 9 \ pi \ sqrt 3- \ frac {9 \ pi \ sqrt 3} 5 = \ frac {36 \ pi \ sqrt 3} 5 [/ matemáticas]

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Tenga en cuenta que si gira alrededor del eje x en lugar del eje y obtendrá la siguiente solución:

Para cualquier valor de [math] x \ in (0,3) [/ math] el radio de la sección transversal de su sólido es [math] R (x) = \ sqrt x – 0 [/ math]. Entonces el área de la sección transversal es [matemática] A (x) = \ pi x [/ matemática]. Para encontrar el volumen, solo integramos el área en el rango de [math] x \ in (0,3) [/ math].

[matemática] V = \ int_0 ^ 3 \ pi x dx = \ frac {9 \ pi} 2 [/ matemática]

Answer 2

Esta es una integración.

Piensa en la forma.
Ahora piense en este volumen lleno de hojas de papel que rodean el eje y.
En la línea x = 3, el exterior, la hoja de papel es raíz 3 de alto y 3x2xpi de largo. Si sabes cómo integrar, sabes a qué me refiero cuando digo que el grosor es dx.

Ahora piense en ello desde x = 0 pasando a x = 3. La altura de cada hoja de papel es raíz x, la longitud es (2pi) xy el grosor es dx. Entonces, para cada hoja, conoce el volumen, de modo que puede escribir una ecuación integral, luego integrar de x = 0 a x = 3.