El polinomio [matemático] x ^ 3-3x ^ 2 + 4x-1 [/ matemático] es un factor de [matemático] x ^ 9 + px ^ 6 + qx ^ 3 + r [/ matemático]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] p + q + r [/ matemáticas]?

Será un trabajo duro. Del problema, inferimos que

[matemáticas] (x ^ 3 – 3x ^ 2 + 4x – 1) (x ^ 6 + ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + dx ^ 2 + ex – r) = x ^ 9 + px ^ 6 + qx ^ 3 + r [/ matemáticas]

Esta es la forma más general que podemos tener. Comparando el coeficiente de [matemáticas] x ^ 8 [/ matemáticas], tenemos:

[matemáticas] a – 3 = 0 \ implica a = 3 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 7 [/ matemáticas]:

[matemáticas] b -3a + 4 = 0 \ implica b = 5 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 6 [/ matemáticas]:

[matemáticas] -1 + 4a -3b + c = p \ implica c = p + 4 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas]:

[matemáticas] -a + b -3c + d = 0 \ implica d = 3p + 10 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas]:

[matemáticas] -b + 4c -3d + e = 0 \ implica e = 3p + 5 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]:

[matemáticas] -c + 4d – 3e -r = q \ implica 2p – q – r = 21 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 3r + 4e – 3d = 0 \ implica 3p + 3r = 10 [/ matemáticas]

Coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] -4r – e = 0 \ implica 3p + 4r = -5 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] r = -15, p = \ dfrac {55} {3}, q = \ dfrac {92} {3} [/ matemáticas].

Finalmente, [matemáticas] p + q + r = 34 [/ matemáticas].

¡No tomaría mis propios cálculos sin un grano de sal!

Un cierto número ‘C’ cuando se divide por N1 deja un resto de 13 y cuando se divide por N2 deja un resto de 1, donde N1 y N2 son los enteros positivos. ¿Cuál sería el valor de N1 + N2 si N1 / N2 = 5/4?

[matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] x \ cdot x [/ matemáticas] (‘[matemáticas] x [/ matemáticas] veces [matemáticas] x [/ matemáticas]’), pero ¿cómo puede [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] se escribirá?

¿Por qué es (4 ^ -3) (2 ^ -3) = 8 ^ -3 y no 8 ^ -6?

Cómo evaluar: [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1/2) ^ {n + 1} \ ln (2 ^ n) [/ matemáticas]

Si f (x) = x -2x ^ (1/2) en el intervalo cerrado [0,2], ¿cuáles son los valores de c garantizados por el Teorema del valor medio para integrales?

Dado que [matemática] P (x) = (x + 1) ^ {2n} -x ^ {2n} -2x-1 [/ matemática] (n> 2), ¿cómo puedo demostrar que hay un polinomio [matemática ] Q (x) [/ math] tal que [math] P (x) = x (x + 1) (2x + 1) Q (x) [/ math]?

Dividir [matemáticas] p (x) = x ^ 9 + px ^ 6 + qx ^ 3 + r [/ matemáticas] entre [matemáticas] q (x) = x ^ 3 – 3x ^ 2 + 4x – 1 [/ matemáticas] y obtenemos [matemática] h (x) [/ matemática] y [matemática] r (x) [/ matemática] tal que,
[matemáticas] p (x) = q (x) h (x) + r (x) [/ matemáticas]
dónde,
[matemáticas] h (x) = x ^ 6 + 3x ^ 5 – 4x ^ 4 + (p + 1) x ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] + qx ^ 2 + 16x + (p + q + 1) [ /matemáticas]
[matemáticas] r (x) = 27x ^ 2 – 64x + (p + q + r) [/ matemáticas]

Sin embargo, se nos dice que [matemáticas] q (x) [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] p (x) [/ matemáticas], por lo tanto,
[matemáticas] p (x) = q (x) h (x) [/ matemáticas]

Comparando las constantes en ambos lados, obtenemos,
[matemáticas] r = -1 \ veces (p + q + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] p + q + r = -1 [/ matemáticas].

Anirban Ghoshal

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