¿Cómo se puede demostrar que la representación (1 / 2,0) x (0,1 / 2) del grupo Lorentz es una representación vectorial? ¿Por qué es que (1 / 2,0) x (1 / 2,0) no es uno?

Answer 1

La representación irreductible (1 / 2,1 / 2) del grupo Lorentz es el producto tensorial de las representaciones de spinor para zurdos (1 / 2,0) y diestros (0,1 / 2):
[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2} \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) \ otimes \ left (0, \ frac {1} {2} \ right). [/ math]

En la notación de spinor, un campo bajo esta representación tiene un índice de spinor sin puntuar (zurdo) y uno punteado (derecho): [matemática] P_ {a \ dot {a}} [/ matemática], y se llama bispinor .

La conexión entre bispinors y vectores espacio-temporales se realiza escribiendo los componentes de un bispinor (hermitiano) como una suma de matrices de Pauli por algún vector de coeficientes reales, o viceversa:
[matemáticas] P_ {a \ dot {a}} = p _ {\ mu} \ sigma_ {a \ dot {a}} ^ {\ mu} = \ left (\ begin {array} {cc}
p_ {0} + p_ {3} y p_ {1} -ip_ {2} \\
p_ {1} + ip_ {2} y p_ {0} -p_ {3}
\ end {array} \ right).
[/matemáticas]

Entonces es sencillo mostrar que [math] p _ {\ mu} [/ math] se transforma como un vector bajo Lorentz si y solo si [math] P_ {a \ dot {a}} [/ math] se transforma como un bispinor bajo Lorentz (prueba dejada como ejercicio para el lector).

Además, esta es la única combinación de representaciones de spinor que tiene esta propiedad.

Answer 2

¡Es una pregunta incorrecta!
En primer lugar, se escribe como una suma directa: [matemáticas] (\ frac {1} {2}, 0) \ bigoplus (0, \ frac {1} {2}) [/ matemáticas].
En segundo lugar, no es una representación vectorial , sino una representación bispinor del grupo Lorentz.
La representación del vector (4) del grupo Lorentz es [matemática] (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}) [/ matemática].

EDITAR: Después de anónimo señaló que en realidad es un producto tensorial . Es posible demostrar que, de hecho, [math] (\ frac {1} {2}, 0) \ bigotimes (0, \ frac {1} {2}) [/ math] es una representación vectorial del grupo Lorentz.

Es porque en el nivel de álgebra de Lie, el grupo de Lorentz [matemáticas] SO (3,1) [/ matemáticas] es isomorfo a [matemáticas] SU (2) \ bigotimes SU (2) [/ matemáticas], de las cuales [ math] (\ frac {1} {2}, 0) \ bigotimes (0, \ frac {1} {2}) [/ math] es una representación. Y de ahí su equivalencia a [matemáticas] (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]. Es por eso que también es una representación vectorial del grupo Lorentz.

Answer 3

Además de las razones dadas en las otras respuestas, un vector tiene propiedades de transformación bien definidas bajo paridad. Esto significa que P que actúa sobre un vector sigue siendo un vector. Un vector también es una representación irreducible. El vector tampoco es una representación spinor. Finalmente tiene 4 componentes.

El (1 / 2,0) x (1 / 2,0) = (1,0) + (0,0). Esto es reducible y el componente (1,0) solo tiene 3 componentes. El (1,0) no tiene propiedades de transformación bien definidas bajo paridad y cambia a una representación (0,1).

Por lo tanto, no tiene ninguna posibilidad de funcionar.

El (1 / 2,0) + (0,1 / 2) es un rotor y es reducible.

Esto deja (1 / 2,1 / 2) como el único candidato.