Si [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] es divisible por [math] 7 [/ math], entonces [math] a [/ math] y [math] b [/ math] también son divisibles por [ matemáticas] 7 [/ matemáticas]?

Answer 1

He respondido un resultado más general recientemente, uno al que Gram Zeppi alude, y lo repetiré aquí. Este resultado es, por supuesto, bien conocido, y puede encontrarse en quizás la mayoría de los libros de texto estándar sobre teoría de números.

Proposición. Para primos [matemática] q [/ matemática] de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática] , [matemática] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ matemática] si y solo si [matemática] q \ mid a [/ math] y [math] q \ mid b [/ math] .

Prueba. Es evidente que si [math] q \ mid a [/ math] y [math] q \ mid b [/ math], entonces [math] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math]. Por el contrario, suponiendo que [math] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math], observe que [math] q \ mid a [/ math] si y solo si [math] q \ mid b [ /matemáticas].

Suponga que [math] q \ nmid a [/ math]. Entonces [math] \ gcd (a, q) = 1 [/ math], y podemos encontrar [math] \ overline {a} [/ math] tal que [math] a \ cdot \ overline {a} \ equiv 1 \ pmod {q} [/ math]. Dado que [matemáticas] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ matemáticas], también tenemos [matemáticas] q \ mid {\ overline {a}} ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) [/ matemáticas], y así [matemáticas] q \ mid (1 + r ^ 2) [/ matemáticas], donde [matemáticas] r \ equiv \ overline {a} \ cdot b \ mod {q} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] q \ nmid r [/ math], y así [math] \ gcd (r, q) = 1 [/ math]. Según el “pequeño” teorema de Fermat,

[matemáticas] r ^ {q-1} \ equiv 1 \ pmod {q} [/ matemáticas].

Pero [matemáticas] r ^ 2 \ equiv -1 \ pmod {q} [/ matemáticas] implica

[matemáticas] 1 \ equiv r ^ {q-1} = (r ^ 2) ^ {(q-1) / 2} \ equiv (-1) ^ {(q-1) / 2} = -1 \ pmod {q} [/ matemáticas],

porque [math] \ frac {q-1} {2} [/ math] es impar. La última congruencia es imposible ya que [matemática] q> 2 [/ matemática]. Por lo tanto, tenemos una contradicción con el supuesto de que [math] q \ nmid a [/ math], y que completa la prueba de la proposición. QED

Observación. Esta propiedad no es compartida por [math] p = 2 [/ math] y por primos de la forma [math] 4k + 1 [/ math]. Para [matemática] p = 2 [/ matemática], tenemos [matemática] 2 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 [/ matemática], y para primos [matemática] p [/ matemática] de la forma [matemática] 4k + 1 [/ math] podemos escribir [math] p = a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] únicamente hasta el orden y el signo. Por lo tanto, en ambos casos, tenemos instancias de [math] p \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math] y [math] p \ nmid a [/ math], [math] p \ nmid b [ /matemáticas].

Answer 2

Como método alternativo, puede usar las propiedades del anillo [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math]. En este análogo de [math] \ mathbb {Z} [/ math] el factor de sumas de cuadrados es particularmente fácil.

[matemáticas] \ begin {align} \\ a ^ 2 + b ^ 2 = (a-ib) (a + ib) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora deje que [math] p \ in {\ mathbb {Z}} [/ math] sea primo. Se puede demostrar que [math] p [/ math] es primo en [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math] si y solo si [math] p [/ math] tiene la forma [math ] 4k-1 [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] \ begin {align} \\ (a-ib) (a + ib) \ equiv {0} \ mod {p} \ iff {a-ib \ equiv {0} \ mod {p} \ vee {a + ib \ equiv {0} \ mod {p}}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

De cualquier manera, [math] p \ mid {a} [/ math] y [math] p \ mid {b} [/ math], porque

[matemáticas] \ begin {align} \\ p \ mid {a \ pm {ib}} \ iff {a \ pm {ib} = p (a ‘\ pm {ib’})} \ iff {a = pa ‘ \ wedge {b = pb ‘}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Esto completa la prueba.

[1]

Notas al pie

[1] http://www.math.uconn.edu/~kconr …

Answer 3

Suponga que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 7 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] a ^ 2 \ equiv -b ^ 2 \ mod 7 [/ matemáticas] .
Cubicando ambos lados de la ecuación obtenemos [matemáticas] a ^ 6 \ equiv -b ^ 6 \ mod 7. (+) [/ matemáticas]
Ahora, por el pequeño teorema de Fermat, concluimos que

[matemáticas] x ^ 6 \ equiv \ begin {cases} 1, x \ not \ equiv 0 \ mod 7 \\ 0 \ mod 7 \ text {, de lo contrario} \ end {cases}. [/ math]

Al aplicarlo a (+) vemos que [math] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 7. [/ Math]

Además, esto funciona para cualquier primo tal que [math] \ frac {p-1} {2} [/ math] es impar, es decir, [math] p = 4k + 3. [/ Math]

Se puede ver que esta conclusión falla para todos los números primos en la forma [matemática] q = 4k + 1 [/ matemática] usando el teorema de Fermat en sumas de dos cuadrados. En este caso, cualquier primo se puede escribir como la suma de dos cuadrados.

Answer 4

Cuando cualquier cuadrado se divide por 7, los restos son:
0 ^ 2 mod 7 = 0
1 ^ 2 mod 7 = 1
2 ^ 2 mod 7 = 4
3 ^ 2 mod 7 = 2
4 ^ 2 mod 7 = 2
5 ^ 2 mod 7 = 4
6 ^ 2 mod 7 = 1

Cualquier número en general se puede representar como 7k + x donde x pertenece a {0,1,2,3,4,5,6}

Sea a 7k + x, y b sea 7m + n
a ^ 2 + b ^ 2 = 49 (k ^ 2 + m ^ 2) + 14 (kx + mn) + (x ^ 2 + n ^ 2)
Dado–> x ^ 2 + n ^ 2 mod 7 = 0

Si observa la tabla anterior, la única solución para esto es cuando x mod 7 = n mod 7 = 0
Por lo tanto, a y b son divisibles por 7

Answer 5

Cuando 7 divide cualquier no. los restos pueden ser cualquier número entero a partir de 0 (exactamente divisible), 1,2,3,4,5 y 6. Por lo tanto, cuando cualquier cuadrado se divide por 7, los restos pueden ser cualquiera de 0 ^ 2 = 0,1 ^ 2 = 1,2 ^ 2 = 4, 3 ^ 2 = 9 (> 7) -> 2,4 ^ 2 = 16 (> 7) -> 2, 5 ^ 2 = 25 (> 7) -> 4 o 6 ^ 2 = 36 (> 7) -> 1. Cualquier selección de a ^ 2 y b ^ 2 (que no sea cada una con rem. 0 cuando se divide por 7) de la lista anterior de enteros no puede crear un entero que sea divisible por 7. Por lo tanto, cada uno de a & b debe ser individualmente divisible por 7)

Answer 6

Esta no es una declaración verdadera en todos los casos. Por lo tanto, esta afirmación no puede justificarse. Pero, si querías la solución, aquí está:
Este sistema tiene infinitas soluciones. Entonces, la respuesta general para esta solución sería
(a, b) = (7x, 7y) donde x e y son enteros positivos.
Esto es más de lógica que de derivación matemática. Pero también probaré mi respuesta:

El dice que a + b es un múltiplo de 7. Ahora,
a + b = 7x + 7y = 7 (x + y)
que es un múltiplo de 7. La segunda condición establece que

((a) ^ 2 + (b) ^ 2) = ((7x) ^ 2 + (7y) ^ 2)
= 49 ((x) ^ 2 + (y) ^ 2)
que de nuevo es un múltiplo de 7.

Answer 7

Muestre que si [matemática] 7 \ mid a ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] 7 \ mid a [/ matemática]. Esto es muy sencillo de probar. Ahora tenga en cuenta que el resto de los cuadrados del módulo 7 son: 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0. Por lo tanto, a menos que, [matemáticas] 7 \ mid a ^ 2, b ^ 2 [/ matemáticas], no se puede dividir la suma. En consecuencia, [matemáticas] 7 \ mid a, b [/ matemáticas].

Answer 8

Tomando los valores 7k + 1,7k + 2,7k + 3, … 7k + 6 para a y los valores 7m + 1, 7m + 2, 7m + 3, …, 7m + 6 para b y simplificando la expresión para a ^ 2 + b ^ 2 podemos verificar fácilmente que en cada caso obtenemos un múltiplo de siete más un resto distinto de cero, lo que demuestra que si a y b no son divisibles por 7, entonces a ^ 2 + b ^ 2 no es divisible por 7. De manera similar, podemos demostrar que si aob no es divisible por 7, entonces también lo es a ^ 2 + b ^ 2. Es fácil demostrar que si tanto a como b son divisibles por 7, también lo es 7.