¿Puedes encontrar una solución entera para la siguiente ecuación entera? [matemáticas] (x + yz) ^ p = p (x + y) (zx) (zy) \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] N [/ matemáticas]

Tales soluciones no parecen ser raras, incluso eliminando los casos cero.

La búsqueda de fuerza bruta en [matemática] p = 3 [/ matemática] muestra las siguientes soluciones hasta 20:

[matemáticas] x = 3, y = 5, z = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4, y = 5, z = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 10, y = 17, z = 9 [/ matemáticas]

Para [matemáticas] p = 5 [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] x = 11, y = 14, z = 15 [/ matemáticas]

Para [math] p = 7 [/ math] tenemos que subir a 40 para encontrar:

[matemáticas] x = 10, y = 39, z = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 15, y = 34, z = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 29, y = 35, z = 36 [/ matemáticas]

Y [matemáticas] p = 11 [/ matemáticas] nos da

[matemáticas] x = 11, y = 21, z = 10, N = 150908652224 [/ matemáticas]

Incluso es completamente sencillo encontrar ejemplos más grandes como

[matemáticas] p = 17, x = 103, y = 153, z = 154 [/ matemáticas]

[matemáticas] p = 19, x = 123, y = 133, z = 142 [/ matemáticas]

[matemáticas] p = 31, x = 58, y = 185, z = 57 [/ matemáticas]

Código de Python:

de fracciones de importación mcd
def evaluar (p, x, y, z):
lhs = (x + y – z) ** p
rhs = p * (x + y) * (z – x) * (z – y)
# want lhs = rhs * N, o rhs | lhs
si rhs == 0:
falso retorno
más:
return (lhs% rhs) == 0 y (lhs / rhs)> 0

búsqueda de def (p, m):
para x en xrange (1, m):
para y en xrange (x + 1, m):
para z en xrango (1, m):
si mcd (x, y) == 1 y mcd (x, z) == 1 y mcd (y, z) == 1:
si evalúa (p, x, y, z):
imprimir “x =”, x, “, y =”, y, “, z =”, z

La solución más fácil de encontrar es aquella en que ambos lados son iguales a cero. Vamos a resolver eso.
[matemáticas] (x + yz) ^ p = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + yz = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] z = x + y [/ matemáticas]

Todos los coprimos tienen números primos únicos entre sus factores, por lo que los números más pequeños son primos. Entonces, en busca de la solución más simple, asumiremos que estos tres enteros coprimos son primos en sí mismos.

Todos los números primos excepto 2 son impares. Un impar agregado a un impar es igual a un par, pero un impar agregado a un par es igual a un impar. Por lo tanto, uno de estos tres números debe ser par. El único primo par es 2, por lo que al menos uno de estos primos debe ser igual a 2. [matemática] z \ ne 2 [/ matemática] porque no hay primos menores que 2 que se sumen a igual a 2. Por lo tanto, [matemática ] z [/ math] es impar, y [math] x [/ math] o [math] y [/ math] es igual a 2. Digamos que [math] x = 2 [/ math] y [math] y [ / math] es un primo extraño. El primo impar más pequeño es 3. Si [matemática] y = 3 [/ matemática] entonces [matemática] z = 2 + 3 = 5 [/ matemática].

Así que hagamos alguna sustitución para ver qué tenemos.
[matemática] 0 ^ p = p (2 + 3) (5-2) (5-3) n [/ matemática] (donde [matemática] n [/ matemática] es el resultado de la función [matemática] N [/ matemáticas])
Ninguno de esos factores es igual a cero, excepto posiblemente n. Por lo tanto, si [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], entonces tenemos nuestra solución.
[matemáticas] 0 ^ p = p \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemática] N (p, x, y, z) = 0 [/ matemática], [matemática] x = 2 [/ matemática], [matemática] y = 3 [/ matemática], [matemática] z = 5 [ /matemáticas]. Ahí está tu solución entera.

¿Puedo encontrar una solución entera? Si puedo.

Para P = 5
X = 1698234712427041541
Y = 1698234712433477883
Z = 1698234712433477884

N = 1292265276541087547868882875839104694611896855613725821021563175620

¿Alguien puede comprobar eso por favor?

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