Cómo integrar [matemática] \ ln (\ sin (x)) [/ matemática] de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] \ frac \ pi 2 [/ matemática]

Answer 1

Obtenga una lista de todas las identidades trigonométricas si desea que esto vaya un poco más rápido. Ser capaz de reconocer rápidamente cuándo y dónde ciertos serán útiles puede ser una gran ventaja cuando se trabaja en problemas más largos como este … así que sin más dudas, ¡comencemos!

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) dx [/ matemáticas]

Asumamos lo siguiente ( eq.1 * ) y guardemos esta pequeña joya para un poco más adelante:

[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) dx [/ matemáticas]

Y luego inmediatamente pienso en usar esta propiedad:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {a} f (x) dx = \ int_ {0} ^ {a} f (ax) dx [/ matemáticas]

Por lo tanto, ahora podemos calcular I:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ left (\ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} – x \ right) \ right) dx [/ matemáticas]

Por experiencia, inmediatamente me doy cuenta de que LITERALMENTE existe una identidad cofuncional que dice:

[matemática] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} – x \ right) = \ cos (x) [/ math]

Entonces ahora podemos llegar a:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ cos (x)) dx [/ matemáticas]

Y al combinar la ecuación 1 y la línea inmediatamente anterior, podemos embarcarnos en un viaje aún más largo:

[matemáticas] 2I = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ \ ln (\ sin (x)) + \ ln (\ cos (x)) \) dx [/ matemáticas]

[math] = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ \ ln (\ sin (x) \ cos (x)) \) dx [/ math]

Echo un vistazo rápido a mi lista práctica y veo que aquí podemos usar la siguiente identidad:

[matemáticas] \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) [/ matemáticas]

Que produce:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ left (\ frac {\ sin (2x)} {2} \ right) dx [/ math]

Entonces recuerdo una cierta propiedad de registro:

[matemática] \ ln \ left (\ frac {A} {B} \ right) = \ ln (A) – \ ln (B) [/ math]

Al usar eso, podemos producir este resultado:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ \ ln (\ sin (2x)) – \ ln (2) \) dx [/ matemáticas]

Ahora dividimos la ecuación usando una simple multiplicación:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (2x)) dx – \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (2) dx [/ matemáticas]

Entonces podemos primero integrar el lado derecho (ln (2)) porque ese es el orden más fácil para lograr nuestro objetivo final de una respuesta final clara y bien pensada ( ¡comienzas a obtener estos conocimientos a través de muchos problemas de práctica! ) :

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (2x)) dx – \ ln (2) (x) _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (2x)) dx – \ ln (2) \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right )[/matemáticas]

Ahora llegamos a un punto complicado, donde utilizaremos la sustitución en U. También debe reconocer la simetría de la función sin sobre pi / 2 ( sin (pi / 2) = 1; piense en una curva de campana ):

[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ int_ {0} ^ {\ pi} \ underbrace {\ ln (\ sin (u)) du} _ {u = 2x} – \ ln (2) \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que la integral cambió … entonces podemos eliminar el .5 que se acaba de agregar debido a lo siguiente:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi} = 2 \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, nuestros cambios integrales a:

[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} \ right) (2) \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ underbrace {\ ln (\ sin (u)) du } _ {u = 2x} – \ ln (2) \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math]

Porque sabemos de antes:

[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) dx [/ matemáticas]

Entonces podemos decir:

[matemática] 2I = I – \ izquierda (\ frac {\ pi} {2} \ derecha) \ ln (2) [/ matemática]

Lo que se reduce muy bien a:

[matemáticas] I = – \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) \ ln (2) [/ math]

¡Ah ah! finalmente hemos llegado a nuestra respuesta!

[matemáticas] \ boxed {\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) dx = – \ frac {\ pi} {2} \ ln (2)} [/matemáticas]

… o si eres como yo y te pones particular en cosas pequeñas como no gustar la presencia de un operador negativo en los resultados, hay una cierta propiedad de división para los registros naturales que curará este comportamiento:

[matemática] \ ln \ left (\ frac {1} {n} \ right) = – \ ln (n) [/ math]

Ahora puedo sentarme, aliviado de mi maldición:

[matemáticas] \ boxed {\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) dx = \ frac {\ pi} {2} \ ln \ left (\ frac {1} {2} \ right)} [/ math]

---

¿No te encanta cómo el cálculo te puede llevar en un viaje a veces?

😛

Answer 2

Aquí hay una forma divertida de hacerlo:

Sustituya [matemática] \ pi / 2 – [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] o reconozca la simetría de senx y cosx en el intervalo dado para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (sin (x)) \, dx = \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (cos (x) ) \, dx = \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (sin (x)) + ln (cos (x)) \, dx = [/ math ]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (\ frac {1} {2} sin (2x)) \, dx = [/ math] [ matemáticas] \ frac {1} {2} (\ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (1/2) + \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln ( sin (2x)) \, dx) [/ math] [math] [/ math]

El proceso anterior se puede repetir indefinidamente en sin (2x) luego en sin (4x) y así sucesivamente para obtener:

[matemáticas] \ frac {1} {2} (\ frac {\ pi} {2} ln (\ frac {1} {2}) + \ frac {1} {2} (\ frac {\ pi} {2 } ln (\ frac {1} {2}) + \ frac {1} {2} (… [/ matemáticas] **

Ya que

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ ln (\ frac {1} {2}) \, dx = \ frac {\ pi} {2} ln (\ frac {1} { 2}) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que ** es de la forma a (b + a (b + a (…

entonces podemos factorizar b, y reconocer el resto como a / (1-a)

Alternativamente, podemos notar que x = a (b + x)

De cualquier manera, obtenemos que la suma es igual a ab / (1-a)

Por lo tanto, la integral es:

[matemáticas] \ frac {\ frac {\ pi} {2} ln (\ frac {1} {2}) * \ frac {1} {2}} {1- \ frac {1} {2}} = [ / matemáticas] [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} ln (\ frac {1} {2}) = – \ frac {\ pi} {2} ln (2) [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] S ln (sinx) dx

S e ^ ln (sinx) dx = gf – Sgdf

g ‘= dx
f = e ^ ln (sinx)
df = cosx / sinx * e ^ ln (sinx) dx
g = x

= gf – Sgdf = x * e ^ ln (sinx) – Sx cosx / sinx * e ^ ln (sinx) dx

= gf – Sgdf = x * e ^ ln (sinx) – Sx cosx / sinx * sinx dx
= gf – Sgdf = x * e ^ ln (sinx) – Sx cosxdx por partes nuevamente

---

Sx cosxdx = gf – Sgdf
f = x
g ‘= cosx
g = sinx
df = dx
Sx cosxdx = gf – Sgdf = xsinx – Ssinxdx
= xsinx + cosx …

---

= S ln (sinx) dx = x * e ^ ln (sinx) – xsinx + cosx + C = F (x)

ahora evalúe F (B) – F (A)
donde B = pi / 2, A = 0
…

[/matemáticas]

Answer 4

Deje [math] T = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ left (\ sin {x} \ right)} \, \ mathrm dx [/ math].

Por la simetría de [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math] note que:

• [matemáticas] T = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ left (\ cos {x} \ right)} \, \ mathrm dx [/ math]
• [matemáticas] T = \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log {\ left (\ sin {x} \ right)} \, \ mathrm dx = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi } {2}} \ log {\ left (\ sin {2x} \ right)} \, \ mathrm dx [/ math]

y recuerde que [math] \ sin {2 \ theta} \ equiv 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto 2T & = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ left (\ sin {x} \ right)} \, \ mathrm dx + \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ left (\ cos {x} \ right)} \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ big (\ log {\ left (\ sin {x} \ right)} + \ log {\ left (\ cos {x} \ right)} \ big) \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ { \ frac {\ pi} {2}} \ log {\ left (\ sin {x} \ cos {x} \ right)} \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} { 2}} \ log {\ left ({\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ sin {2x} \ right)} \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} { 2}} \ big (\ log {\ left (\ sin {2x} \ right)} – ​​\ log {2} \ big) \, \ mathrm dx \\ & = T – \ int_0 ^ {\ frac {\ pi } {2}} \ log {2} \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle – \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {2} \, \ mathrm dx = – \ Big [x \ log {2} \ Big] _0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} = \ boxed {- {\ scriptsize \ frac {\ pi} {2}} \ log {2}} [/ math]

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Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

Answer 5

Suponga que x = asin (y)
Entonces los límites de y son 0 a 1
Ahora integre ln (y) con límites de 0 a 1
La integración de ln (y) sería yln (y) -y
Al sustituir los límites, obtenemos que la respuesta es ‘-1’

Answer 6

Integral (0, PI / 2) (ln (sin (x)) dx) = 2 * Integral (0, PI / 4) (ln (sin (2 * x)) dx)

= 2 * Integral (0, PI / 4) (ln2) dx) + 2 * Integral (0, PI / 4) (ln (sin (x)) dx) + 2 * Integral (0, PI / 4) (ln (cos (x)) dx)

Se trata del valor – (PI / 2) ln (2)

Answer 7

Deje sin x = t;
Cos x dx = dt
dx = dt / cos x
Cos x = (1- (sin) ^ 2x) ^ 1/2
Cos x = (1-t ^ 2) ^ 1/2

ln (sin (x)) dx = (ln (t)) dt / (1-t ^ 2) ^ 1/2
Ahora integre por partes.
No olvides cambiar los límites.

Answer 8

Según el motor de conocimiento computacional: