¿Cómo podemos demostrar que [matemáticas] \ sum \ limits ^ {n} _ {r = 1} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ frac {1} {2} (2 ^ {2n} – {^ {2n} C_n}) [/ math]?

Answer 1

LHS significa Todas las formas en que podemos seleccionar (n + r) personas de 2n personas, donde r puede variar de 1 a n.
Ahora una persona puede ser elegida o no elegida, por lo que hay 2 formas de seleccionar a una persona.
El número total de formas en que r personas pueden ser elegidas o no elegidas, donde r varía de 1 a 2n será igual a 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * …… .2n términos = 2 ^ 2n
Como cada persona puede ser elegida o no elegida = 2 formas, multiplicada por cada 2n términos.

Ahora, si no restamos ninguna de las formas en que n personas fueron elegidas de la serie anterior, nos quedaremos con, n personas no son elegidas y (n + r) personas son elegidas o no elegidas. donde r varía de 1 a n = 2 ^ 2n- C (2n, n)

Ahora, ninguna de las formas en que (n + r) puede elegirse entre 2n personas es exactamente la misma que ninguna de las formas (n + r) de personas no elegidas entre 2n personas.
Debido a la simetría debido a que r varía de 1 a n aquí.

Entonces, dividir {2 ^ 2n -C (2n, n)} por 2 da el total de formas en que (n + r) personas pueden seleccionarse entre 2n personas, donde r varía de 1 a n.

Tenga en cuenta que esto es solo una selección de personas, si será un arreglo de personas en una línea, eso conducirá a un problema de permutación.

El segundo método es por matemática pura. Ya está bien explicado en otras respuestas.

Answer 2

Considere una cadena binaria de longitud [matemática] 2n [/ matemática]. ¿Cuántas cadenas de este tipo hay exactamente con [math] k [/ math] ceros? Si hay ceros [matemática] k [/ matemática], entonces solo necesitamos colocarlos en [matemática] k [/ matemática] de las posiciones [matemática] 2n [/ matemática], y esto puede hacerse en [matemática] {^ {2n}} C_k [/ math] maneras. Entonces hay [math] {^ {2n}} C_k [/ math] cadenas binarias de longitud [math] 2n [/ math] que contienen exactamente [math] k [/ math] ceros. Pero por simetría, este es también el número de cadenas binarias de la misma longitud que contienen exactamente [math] k [/ math] (porque no hay una diferencia fundamental entre los dos bits).

Entonces, ¿cuántas cadenas binarias de longitud [matemáticas] 2n [/ matemáticas] hay totalmente? Para contarlos, solo necesitamos contar las cadenas binarias de longitud [matemática] 2n [/ matemática] con el número de ceros que va de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 2n [/ matemática]. Pero sabemos que el número de tales cadenas con [math] k [/ math] ceros es el mismo que el número de tales cadenas con [math] n – k [/ math]. Por lo tanto, podríamos contar estas cadenas con el número de ceros que van de [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] n [/ matemáticas], y multiplicar esto por [matemáticas] 2 [/ matemáticas], y luego sumar [math] {^ {2n}} C_n [/ math] (el número de cadenas que contienen exactamente [math] n [/ math] ceros y [math] n [/ math]). Es decir:

[matemáticas] 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} + {^ 2n} C_n [/ matemáticas]

Sin embargo, el número real de cadenas binarias de longitud [math] 2n [/ math] es solo [math] 2 ^ {2n} [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} + {^ 2n} C_n = 2 ^ {2n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ dfrac {1} {2} \ left (2 ^ {2n} – {^ {2n}} C_n \ right) [/ math]

---

Prueba alternativa (menos interesante):

[matemáticas] \ begin {align}
& ^ {2n} C_ {n + r} = ^ {2n} C_ {n – r} \ Rightarrow \\
& \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n – r} \ Rightarrow \\
& 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} + \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n – r} \ Rightarrow \\
& 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ sum_ {r = n + 1} ^ {2n} {^ {2n}} C_ {r} + \ sum_ {r = 0} ^ {n-1} {^ {2n}} C_ {r} \ Rightarrow
\ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align}
& 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ sum_ {r = 0} ^ {2n} {^ {2n}} C_ {r} – {^ {2n}} C_n \ Rightarrow \\
& 2 \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = (1 + 1) ^ {2n} – {^ {2n}} C_n \ Rightarrow \\
& \ sum_ {r = 1} ^ {n} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ dfrac {1} {2} \ left (2 ^ {2n} – {^ {2n}} C_n \ derecho)
\ end {align} [/ math]

Answer 3

Lo sabemos
C (2n, 0) + C (2n, 1) + C (2n, 2) + ……. + C (2n, n) + C (2n, n + 1) + C (2n + 2) + …… … .. + C (2n, 2n) = (2) ^ (2n)
Sea C (2n, n + 1) + C (2n + 2) + ……… .. + C (2n, 2n) = S
Así, C (2n, 0) + C (2n, 1) + C (2n, 2) + ……. + C (2n, n) + S = (2) ^ (2n) ………. (1)
Pero C (2n, r) = C (2n, 2n-r), r = 0,1,2,3 ,,,,,,, n
Por lo tanto
C (2n, 2n) + C (2n, 2n-1) + ……… + C (2n, n) + S = (2) ^ (2n) ………… (2)
Al sumar (1) y (2) obtenemos,

C (2n, 0) + C (2n, 1) + C (2n, 2) + ……. + C (2n, n) + C (2n, n + 1) + C (2n, n + 2) + …… (2n, 2n) + C (2n, n) + 2S = 2 (2) ^ (2n) ……… .. (3)
Ya que
C (2n, 0) + C (2n, 1) + C (2n, 2) + ……. + C (2n, n) + C (2n, n + 1) + C (2n, n + 2) + …… (2n, 2n) = (2) ^ (2n)
la ecuación (3) se convierte
(2) ^ (2n) + C (2n, n) + 2S = 2 (2) ^ (2n)
Por lo tanto S = {(2) ^ (2n) -C (2n, n)} / 2

Answer 4

Answer 5

Answer 6

2nC0 + 2nC1 + 2nC2…. 2nCn = 2 ^ 2n
Además, 2nCr = 2nC (nr)
Por lo tanto, 2 * (suma requerida) + 2nCn = 2 ^ 2n
Por lo tanto,
Suma requerida = 1/2 * (2 ^ 2n – 2nCn)