Deje que [math] F_n [/ math] denote el término [math] n [/ math] th en la secuencia de Fibonacci. ¿Cómo se prueba que [matemáticas] F_ {n + 1} ^ 2 + F_ {n} ^ 2 = F_ {2n + 1} [/ matemáticas]?

Answer 1

Tome [math] f_0 = 1 [/ math], [math] f_1 = 1 [/ math], entonces [math] f_ {n-1} = F_n [/ math].

Es bien sabido que [math] f_n [/ math] es el número de inclinaciones distintas de un tablero [math] 1 \ times n [/ math] usando solo [math] 1 \ times 1 [/ math] y [math] 1 \ veces 2 [/ matemáticas] (la prueba se desprende del trabajo de caso sobre si el primer cuadrado está cubierto por una pieza [matemática] 1 \ veces 1 [/ matemática] o una pieza [matemática] 1 \ por 2 [/ matemática]) . Entonces [math] f_ {2n} [/ math] es el número de tildes distintos de un tablero [math] 1 \ times 2n [/ math].

Ahora, consideremos los dos cuadrados del medio de una tabla [matemática] 1 \ por 2n [/ matemática]. O una sola pieza [matemática] 1 \ veces 2 [/ matemática] cubre ambos cuadrados, o el tablero está compuesto por dos tableros [matemática] 1 \ veces n [/ matemática].

En el primer caso, hay [math] f_ {n-1} [/ math] formas de colocar la primera mitad del tablero, y hay [math] f_ {n-1} [/ math] formas de colocar el mosaico segunda mitad del tablero, para un total de [matemáticas] f_ {n-1} ^ 2 [/ matemáticas] formas.

En el segundo caso, hay [math] f_n [/ math] formas de colocar la primera mitad del tablero, y hay [math] f_n [/ math] formas de colocar la segunda mitad del tablero, para un total de [matemáticas] f_n ^ 2 [/ matemáticas] formas.

En total, hay [math] f_ {n-1} ^ 2 + f_n ^ 2 [/ math] formas de enlosar el tablero [math] 1 \ times 2n [/ math]. Entonces, esto debe ser igual a [math] f_ {2n} [/ math].

También podemos usar esta técnica para probar las más generales [matemáticas] f_ {m + n} = f_m f_n + f_ {m-1} f_ {n-1} [/ matemáticas].

Answer 2

Aquí hay una prueba usando una inducción fuerte

Bases de la inducción.
n = 1: [matemáticas] F_2 ^ 2 + F_1 ^ 2 = 1 + 1 = 2 = F_3 [/ matemáticas]
n = 2: [matemáticas] F_3 ^ 2 + F_2 ^ 2 = 2 ^ 2 + 1 ^ 2 = 5 = F_5 [/ matemáticas]

Paso inductivo
Suponga que la relación se cumple para todas [matemáticas] m

[matemáticas] F_ {2n-3} = F_ {n-1} ^ 2 + F_ {n-2} ^ 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] F_ {2n-1} = F_ {n} ^ 2 + F_ {n-1} ^ 2 [/ matemáticas]

Pero entonces
[matemáticas] \ begin {align} F_ {2n + 1} & = F_ {2n} + F_ {2n-1} \\ & = 2F_ {2n-1} + F_ {2n-2} \\ & = 3F_ { 2n-1} -F_ {2n-3} \\ & = 3 (F_ {n} ^ 2 + F_ {n-1} ^ 2) – (F_ {n-1} ^ 2 + F_ {n-2} ^ 2) \\ & = 3F_ {n} ^ 2 + 2F_ {n-1} ^ 2-F_ {n-2} ^ 2 \\ & = 3F_ {n} ^ 2 + 2F_ {n-1} ^ 2 – (F_n-F_ {n-1}) ^ 2 \\ & = 2F_n ^ 2 + 2F_n F_ {n-1} + F_ {n-1} ^ 2 \\ & = 2F_n ^ 2 + 2F_n (F_ {n +1} -F_n) + (F_ {n + 1} -F_n) ^ 2 \\ & = F_ {n + 1} ^ 2 + F_n ^ 2 \\ \ square \ end {align} [/ math]

Answer 3

Defina la siguiente matriz:
[matemáticas] Q = \ left (\ begin {array} {cc}
1 y 1 \\
1 y 0
\ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cc}
F_ {2} y F_ {1} \\
F_ {1} y F_ {0}
\ end {array} \ right). [/ math]

Es fácil de ver, usando la inducción y la relación de recurrencia de Fibonacci
[matemáticas] F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}, [/ matemáticas]
que si llevamos esta matriz a la potencia [matemática] n [/ matemática] obtenemos:
[matemáticas] Q ^ {n} = \ left (\ begin {array} {cc}
F_ {n + 1} y F_ {n} \\
F_ {n} y F_ {n-1}
\ end {array} \ right). [/ math]

Ahora, dado que [matemáticas] Q ^ {n + 1} Q ^ n = Q ^ {2n + 1} [/ matemáticas], y [matemáticas] F_ {2n + 1} [/ matemáticas] aparece en la fila 2, columna 1 de [matemáticas] Q ^ {2n + 1} [/ matemáticas], se sigue haciendo explícitamente la multiplicación de matrices en el lado izquierdo que
[matemáticas] F_ {n + 1} ^ 2 + F_ {n} ^ 2 = F_ {2n + 1}, [/ matemáticas]
como queríamos mostrar

Answer 4

Para que esto funcione, es necesario que comencemos la secuencia de Fibonacci con [matemáticas] F_0 = 1, F_1 ​​= 1, F_2 = 2,… [/ matemáticas] no [matemáticas] F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, …[/matemáticas]. Esto se resuelve fácilmente usando la forma cerrada de los números de Fibonacci:

[matemática] F_i = \ frac {\ varphi ^ {i + 1} – \ psi ^ {i + 1}} {\ sqrt {5}} [/ math] donde [math] \ varphi [/ math] y [math ] \ psi [/ math] son ​​las dos raíces de la ecuación [math] x ^ 2-x-1 = 0 [/ math].

Entonces:

[matemáticas] F_n ^ 2 = \ frac {\ varphi ^ {2n + 2} -2 \ varphi ^ {n + 1} \ psi ^ {n + 1} + \ psi ^ {2n + 2}} {5} [ /matemáticas]

y

[matemáticas] F_ {n-1} ^ 2 = \ frac {\ varphi ^ {2n} -2 \ varphi ^ {n} \ psi ^ {n} + \ psi ^ {2n}} {5} [/ matemáticas]

Si sumamos estas dos ecuaciones juntas, es fácil ver que los dos términos medios deben cancelarse en virtud del hecho de que [math] \ varphi \ psi = -1 [/ math], dándonos:

[matemáticas] F_n ^ 2 + F_ {n-1} ^ 2 = \ frac {\ varphi ^ {2n} (1+ \ varphi ^ 2) + \ psi ^ {2n} (1+ \ psi ^ 2)} { 5} [/ matemáticas]

Es bastante fácil determinar que [matemáticas] \ frac {1+ \ varphi ^ 2} {\ sqrt {5}} = \ varphi [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {1+ \ psi ^ 2} {\ sqrt {5}} = – \ psi [/ math] desde el cual lo anterior se puede reducir a:

[matemáticas] F_n ^ 2 + F_ {n-1} ^ 2 = F_ {2n} [/ matemáticas]

y ya hemos terminado.

Otra forma de abordar este problema es observar también que un resultado similar también es válido: [matemáticas] F_ {2n + 1} = F_ {n + 1} ^ 2-F_ {n-1} ^ 2 [/ matemáticas]. Los dos resultados se pueden probar juntos usando inducción matemática. No daré la inducción en detalle.