¿Puedes usar la inducción para mostrar que [matemáticas] n + 1 <n ^ 2 [/ matemáticas] para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Sea [matemática] S (n) [/ matemática] la declaración: [matemática] n + 1 <n ^ {2} [/ matemática]; [matemáticas] n \ leq2 [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (2) [/ matemática]:

LHS: [matemáticas] (2) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ hspace {7 mm} 3 [/ matemáticas]

RHS: [matemáticas] (2) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemática] = \ hspace {7.5 mm} 4 [/ matemática]

[math] \ hspace {47.5 mm} [/ math] LHS [math] <[/ math] RHS (verificado)

Paso inductivo:

Suponga que [math] S (k) [/ math] es verdadero, es decir, suponga que [math] k + 1 <k ^ {2} [/ math]; [matemáticas] k \ leq2 [/ matemáticas]

[matemática] \ Estrella derecha \ hspace {58.75 mm} k + 1 + 1 <k ^ {2} +1 [/ matemática]

[matemática] \ Estrella derecha \ hspace {58.75 mm} k + 2 <k ^ {2} +1 [/ matemática]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] (k + 1) +1 <(k + 1) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13.5 mm} = k + 2 <k ^ {2} + 2k + 1 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemáticas] n + 1 <n ^ {2} [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ leq2 [/ matemáticas].

Answer 2

Puede escribir la prueba mucho más sucintamente (podría hacerlo incluso mejor que lo que tengo a continuación, ya que tiendo a ser prolijo). También como un punto de estilo (y, a veces, un punto de lógica) desea evitar manipular ambos lados de una ecuación o desigualdad. También parece tener dos cosas que intenta probar en su prueba, que dado que está probando lo que está en el título, no es necesario. Aquí hay una prueba decente de la declaración del título usando inducción.

Prueba:
Supongamos que P (n) denota el enunciado n + 1 Notamos el caso base de n = 2 retenciones. Es decir, n + 1 = 3 <4 = n ^ 2.
Ahora procedemos con el paso de inducción. Suponga que P (k) es cierto para algunos k en los números naturales. Considere la cantidad k + 2.
k + 2 = (k + 1) +1
= 2
= (k + 1) ^ 2.
Por lo tanto, P (k + 1) también es cierto. Por el principio de inducción, P (n) es verdadero para todos n> = 2.

Answer 3

Como, [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] n-1 \ geq 1 [/ matemáticas]

Entonces, en lugar de usar inducción, puedes mostrar eso,
[matemáticas] n ^ 2-1
Por lo tanto,
[matemáticas] (n + 1) (n-1)

Y entonces,
puedes eliminar n-1 de LHS y decir que la desigualdad es válida.

Answer 4

¿Por qué no mostrar mostrar que [matemáticas] n ^ 2-n-1> 0 [/ matemáticas]? Su declaración no indica si [matemática] n \ en N [/ matemática], y de una inspección obvia esta proposición es válida para todos los números reales mayores que 2.