Gracias por A2A, Tejas.
Dado que [math] P [/ math] es un polinomio con coeficientes enteros, al conectar [math] \ pm \ sqrt {2} [/ math] en la igualdad anterior, verá [math] P (\ pm \ sqrt {2}) ^ 2 = a [/ math] para algunos [math] a \ in \ mathbf {Z} [/ math]. Es decir, [matemática] x ^ 2 -2 [/ matemática] divide [matemática] P (x) ^ 2 -a. [/ Matemática]
Por lo tanto, [math] P ^ 2 = b_m (x ^ 2-2) ^ {m} + b_ {m-1} (x ^ 2-2) ^ {m-1} + \ ldots + b_0 [/ math] ( *) para algunos [math] b_i \ in \ mathbb {Q}. [/ math] En particular, [math] P ^ 2 [/ math] es una función polinómica par. Implica (¡compruébelo!) Que [math] P [/ math] es impar (es decir, contiene solo poderes impares de [math] x [/ math]) o par (es decir, contiene solo poderes pares de [math] x [/ matemáticas]).
Por otro lado, la composición de polinomios define la estructura monoide en el conjunto [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math]. Es decir, es asociativo, y el elemento neutral viene dado por [math] E (x) = x [/ math].
Suponga que [matemáticas] P [/ matemáticas] tiene un grado [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemática] P (x) = p [/ matemática] y [matemática] P [/ matemática] satisface la ecuación [matemática] p ^ 2-2 = p [/ matemática]. Entonces [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] p = -1. [/ Matemáticas]
- Suponga que [math] f (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes complejos de grado [math] 2013 [/ math] sin raíces múltiples. ¿Cuáles son los últimos tres dígitos del menor número posible de raíces complejas distintas de [matemáticas] f (f (x)) [/ matemáticas]?
- Si [matemática] x ^ 2 + x = 5 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] (x + 3) ^ 3 + \ frac {1} {(x + 3) ^ 3} [/ matemática ]?
- ¿Por qué 0 ^ 0 = 1 y 0 ^ 1 = 0?
- ¿Por qué [math] .5! [/ Math] tiene un valor?
- ¿Por qué es [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]?
Ahora dejemos [matemáticas] Q (x) = x ^ 2-2. [/ Matemáticas] Entonces queremos que [matemáticas] Q \ circ P = P \ circ Q. [/ Matemáticas] (+) Claramente, las composiciones finitas de [ matemáticas] Q [/ matemáticas] satisfacen esta ecuación. Por lo tanto, [math] P = \ underbrace {Q \ circ Q \ circ \ ldots \ circ Q} _ {m \ text {times}} [/ math] es una solución. En particular, elegir [math] m \ leq 1012 [/ math] te da los polinomios de los grados correctos.
En contraste con eso, las combinaciones lineales (*) no satisfacen (+) en general.
Uno puede escribir cada polinomio par en la base [matemática] 1, Q, Q \ circ Q, Q \ circ Q \ circ Q, \ ldots [/ math] y cada polinomio impar en la base [matemática] x, x \ cdot Q, x \ cdot (Q \ circ Q), \ ldots. [/ Math] y verifíquelo explícitamente.
Dejo la verificación al lector, pero parece ser una consecuencia del hecho de que un mapa polinomial no es un mapa lineal en general.
Por lo tanto, encontramos que [matemáticas] \ displaystyle {2, -1, x, x ^ 2-2,} [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle {(x ^ 2-2) ^ 2-2, \ left (( x ^ 2-2) ^ 2-2 \ right) ^ 2-2, \ ldots,} [/ math] satisfacen la condición anterior (un total de 1015 polinomios).
Haga su tarea correctamente y verifique si esta lista es exhaustiva.