Cómo resolver este problema de álgebra lineal

Answer 1

Esa fórmula para la imagen especular se deriva de esta fórmula.

[math] S_ \ ell (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} -2 (1- \ text {proj} _ \ ell (\ mathbf {x})) [/ math]
[math] S_ \ ell (\ mathbf {x}) = 2 \ text {proj} _ \ ell (\ mathbf {x}) – \ mathbf {x} [/ math]

Para escribir esto en forma de matriz, debes encontrar una manera de hacer esa resta. Haga esto con la matriz de identidad [matemáticas] I [/ matemáticas]. La propiedad importante de la matriz de identidad que se utilizará aquí es que [math] I \ mathbf {x} = \ mathbf {x} [/ math] para cualquier vector [math] \ mathbf {x} [/ math].

[matemáticas] [S_ \ ell] \ mathbf {x} = 2 [\ text {proj} _ \ ell] \ mathbf {x} -I \ mathbf {x} [/ math]
[math] [S_ \ ell] \ mathbf {x} = (2 [\ text {proj} _ \ ell] -I) \ mathbf {x} [/ math]

Y así se deduce que
[matemáticas] [S_ \ ell] = 2 [\ text {proj} _ \ ell] -I [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] I [/ matemáticas] es la matriz de identidad. Intenta razonar geométricamente sobre por qué este podría ser el caso. En particular, ¿por qué la proyección se multiplica por dos en la fórmula estándar? Dado que es así, ¿qué debe restar de eso para obtener el reflejo del vector a través de la línea dada?

Para realizar la aritmética, es útil escribir [matemáticas] I [/ matemáticas] como elementos diagonales [matemáticas] \ frac {1} {d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2} (d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2) [/ matemáticas ] y [matemáticas] \ frac {1} {d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2} (d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2) [/ matemáticas]. Ambas expresiones son solo [math] 1 [/ math], pero le permiten realizar la resta de la matriz fácilmente y terminar con la expresión deseada.

Answer 3

Ya casi estás ahí. Tu última expresión es igual a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac1 {d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2} \ left (\ begin {bmatrix} 2d_1 ^ 2 & 2d_1d_2 \\ 2d_1d_2 & 2d_2 ^ 2 \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 & 0 \\ 0 & d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 \ end {bmatrix} \ right) [/ math]

que se simplifica a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac1 {d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2} \ \ begin {bmatrix} d_1 ^ 2-d_2 ^ 2 & d_1d_2 \\ d_1d_2 & d_2 ^ 2-d_1 ^ 2 \ end {bmatrix} [/ math]

según sea necesario.