¿El conjugado de un número complejo tiene algo que ver con el conjugado en la teoría de grupos?

Answer 1

No estoy completamente seguro de cómo se produjo la denominación históricamente, pero hay al menos dos conexiones diferentes entre el conjugado complejo y el conjugado en la teoría de grupos:

1.) Si [math] z \ in \ mathbb {C} [/ math] y [math] j [/ math] es la unidad familiar en los cuaterniones, entonces [math] jzj ^ {- 1} = \ overline { z} [/ matemáticas]. Más importante:

2.) La conjugación en la teoría de grupos se conoce como un automorfismo interno del grupo. Te da acción del grupo sobre sí mismo. Del mismo modo, la conjugación compleja es un automorfismo de los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math]. De hecho, es el único automorfismo de no identidad que corrige [math] \ mathbb {R} [/ math] (es decir, envía cada número real a sí mismo). La conjugación más la identidad de lo que se conoce como el grupo de Galois para la extensión [math] \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} [/ math]: esta es una cosa mucho más general que tiene muchas aplicaciones. La conjugación básicamente especifica la acción del grupo de Galois en [math] \ mathbb {C} [/ math]. Y, al igual que en el caso del automorfismo interno, nos referimos a las imágenes de elementos bajo el automorfismo como conjugados.

Answer 2

Parece ser un accidente que el mismo término se use de estas dos formas diferentes, en lugar de reflejar una conexión más profunda entre los dos.

En un grupo, dos elementos ayb se conjugan si hay un elemento g tal que [math] a = gbg ^ {- 1} [/ math]. Pero este no es el significado de la conjugación compleja. Sin embargo, para los números complejos a y b , [math] a = gbg ^ {- 1} [/ math] para un número complejo g implica que [math] a = b [/ math] ya que los números complejos son conmutativos. Los únicos números complejos que son iguales a su conjugado complejo son los números reales, en cuyo caso el conjugado complejo no tiene significado.

Answer 3

Los dos tipos de conjugado tienen algo importante en común: cada uno de un par de conjugados es una imagen del otro bajo un automorfismo.

Answer 4

Tampoco tiene nada que ver con conjugar verbos. La etimología latina solo significa “unidos”. El jug está relacionado con el yugo (bueyes) y el yoga.