¿Cuál es el resto cuando el determinante dado a continuación se divide por 5?

Answer 1

No es difícil ver que el módulo determinante 5 dado será el mismo que:

el determinante con cada elemento calculado módulo 5. Entonces, el determinante es:

(4 ^ 2014 mod 5 0 1), (2 ^ 2017mod 5 3 ^ 2018 mod 5 4 ^ 2019 mod 5), (0 1 2 ^ 2022 mod 5)

Ahora, 4 ^ 2014 = 1 (mod 5) [Al poner 5 – 1 en lugar de 4 y ver que el exponente es + número par]

Además, 2 ^ 2017 = 2 (mod 5) [Al poner 2 ^ 2017 como 2 * 4 ^ 1008. Por lo tanto, el resto es 2 * 1 = 2, ya que 4 ^ 1008 claramente deja un resto de 1 escribiendo 4 como 5 – 1]

3 ^ 2018 = 2 ^ 2018 (mod5)

Pero 2 ^ 2018

= 4 ^ 1009 = (-1) = 4 (mod 5)

4 ^ 2019 = 4 * 4 ^ 2018 = 4 (mod 5) [Escribiendo 4 como (5 – 1) y observando que 2018 es par.]

2 ^ 2022 = 4 ^ 1011 = (-1) = 4 mod 5 [Escribiendo 4 como (5 – 1) y expandiendo]

Entonces el determinante final que tenemos es:

(1 0 1), (2 4 4), (0 1 4)

La expansión del determinante anterior da

1 * (16-4) + 0 + 1 * (2) = 14

Entonces 14 mod 5 es la respuesta requerida.

es decir, 4 es la respuesta requerida.

Answer 2

-A2A-

Si se busca el módulo determinante 5, entonces cada término [matemático] c_ {ij} [/ matemático] en el determinante puede reducirse al módulo congruente 5.

2014 mod 5 = 4 | 2016 mod 5 = 1 | 2017 mod 5 = 2 | 2018 mod 5 = 3 | 2019 mod 5 = 4 | 2021 mod 5 = 1 | 2022 mod 5 = 2

Claramente, 2015 y 2020 son múltiplos de 5. Entonces, 2015 mod 5 = 0 y 2020 mod 5 = 0

[matemáticas] \ Rightarrow 2014 ^ {2014} \ mod \ 5 \ = 4 ^ {2014} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

[matemática] 4 ^ a [/ matemática] mod 5 tiene una ciclicidad de orden 2. [matemática] 4 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemática] | [matemáticas] 4 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] | [matemáticas] 4 ^ 3 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas] | [matemáticas] 4 ^ 4 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Entonces, [matemáticas] 4 ^ {2014} \ mod \ 5 \ = 4 ^ {2 * 1006 + 2} \ mod \ 5 \ = 4 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] 2015 ^ {2015} \ mod \ 5 \ = 0 ^ {2015} \ mod \ 5 \ = 0 \ mod \ 5 \ = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2016 ^ {2016} \ mod \ 5 \ = 1 ^ {2016} \ mod \ 5 \ = 1 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017 ^ {2017} \ mod \ 5 \ = 2 ^ {2017} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

[matemática] 2 ^ a [/ matemática] mod 5 tiene una ciclicidad de orden 4. [matemática] 2 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 2 [/ matemática] | [matemáticas] 2 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas] | [matemáticas] 2 ^ 3 \ mod \ 5 \ = 3 [/ matemáticas] | [matemáticas] 2 ^ 4 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] y luego se repite.

Entonces, [matemáticas] 2 ^ {2017} \ mod \ 5 \ = 2 ^ {4 * 504 + 1} \ mod \ 5 \ = 2 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2018 ^ {2018} \ mod \ 5 \ = 3 ^ {2018} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

[matemática] 3 ^ a [/ matemática] mod 5 tiene una ciclicidad de orden 4. [matemática] 3 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 3 [/ matemática] | [matemáticas] 3 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas] | [matemáticas] 3 ^ 3 \ mod \ 5 \ = 2 [/ matemáticas] | [matemáticas] 3 ^ 4 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] y luego se repite.

Entonces, [matemáticas] 3 ^ {2018} \ mod \ 5 \ = 3 ^ {4 * 504 + 2} \ mod \ 5 \ = 3 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2019 ^ {2019} \ mod \ 5 \ = 4 ^ {2019} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

[matemática] 4 ^ a [/ matemática] mod 5 tiene una ciclicidad de orden 2. [matemática] 4 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemática] | [matemáticas] 4 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Entonces, [matemáticas] 4 ^ {2019} \ mod \ 5 \ = 4 ^ {2 * 1009 + 1} \ mod \ 5 \ = 4 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2020 ^ {2020} \ mod \ 5 \ = 0 ^ {2020} \ mod \ 5 \ = 0 \ mod \ 5 \ = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2021 ^ {2021} \ mod \ 5 \ = 1 ^ {2021} \ mod \ 5 \ = 1 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2022 ^ {2022} \ mod \ 5 \ = 2 ^ {2022} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

[matemática] 2 ^ a [/ matemática] mod 5 tiene una ciclicidad de orden 4. [matemática] 2 ^ 1 \ mod \ 5 \ = 2 [/ matemática] | [matemáticas] 2 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas] | [matemáticas] 2 ^ 3 \ mod \ 5 \ = 3 [/ matemáticas] | [matemáticas] 2 ^ 4 \ mod \ 5 \ = 1 [/ matemáticas] y luego se repite.

Entonces, [matemáticas] 2 ^ {2022} \ mod \ 5 \ = 2 ^ {4 * 510 + 2} \ mod \ 5 \ = 2 ^ 2 \ mod \ 5 \ = 4 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

\ begin {array} [lh] \ = & \ begin {vmatrix} {2014} ^ {2014} & {2015} ^ {2015} & {2016} ^ {2016} \\ {2017} ^ {2017} & { 2018} ^ {2018} y {2019} ^ {2019} \\ {2020} ^ {2020} y {2021} ^ {2021} y {2022} ^ {2022} \ end {vmatrix} y mod & 5 \\ \ end {array}

\ begin {array} [lh] \ = & \ begin {vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ \ end {vmatrix} & mod & 5 \\ \ end {array}

= [matemáticas] [1 * (4 * 4-1 * 4) -0 * (2 * 4-0 * 4) + 1 * (2 * 1-0 * 4)] \ mod \ 5 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 14 \ mod \ 5 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 4 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el resto es [matemática] \ grande 4 [/ matemática]