¿Qué es exactamente el álgebra lineal? ¿Por qué lo necesitamos?

Answer 1

El álgebra lineal, como su nombre indica, es una rama de las matemáticas que estudia los objetos algebraicos lineales en algún sentido. El objetivo principal del álgebra lineal es estudiar espacios vectoriales y mapas lineales entre dichos espacios. Los espacios vectoriales son ciertos objetos matemáticos que satisfacen una lista de axiomas y son muy importantes por una variedad de razones que son demasiado numerosas para enumerarlas aquí.

El álgebra lineal es necesaria porque muchos de los conceptos que se estudian en álgebra lineal pueden generalizarse fácilmente y son objetos que estudiamos en álgebra abstracta o análisis funcional. Las técnicas de álgebra lineal son útiles en casi todas las ramas de las matemáticas. De hecho, creo que nunca estudié un curso de matemáticas en el que algún concepto de álgebra lineal no fuera útil. Además de las matemáticas, el álgebra lineal entra en juego donde haya ecuaciones lineales y soluciones de tales ecuaciones. En particular, el álgebra lineal es esencial para muchas ramas de la física, los estudios ambientales, la química, la biología, la economía y, lo más importante, la ingeniería.

Answer 2

El álgebra lineal es el estudio de las propiedades algebraicas de las transformaciones lineales que son funciones sobre los vectores. Los vectores pertenecen a espacios vectoriales. La motivación detrás de todo esto proviene de la geometría analítica y el estudio de las transformaciones en el espacio, pero como es habitual en el desarrollo de teorías matemáticas, los espacios vectoriales y las transformaciones lineales sobre ellos surgen en muchos otros entornos.

Por ejemplo, el álgebra lineal se puede usar para dar una cuenta elegante del análisis de regresión y el análisis de varianza en estadística matemática.

Consulte Codificación de la matriz para obtener una gran colección de aplicaciones de álgebra lineal para problemas en informática.

Answer 3

En el nivel introductorio, el álgebra lineal generaliza escalares, que solo tienen magnitud, a vectores, que tienen magnitud y dirección. Esto permite estudiar sistemas físicos en más de una dimensión porque en más de una dimensión, la magnitud por sí sola no proporciona suficiente información para describir completamente el estado de un objeto. Si un automóvil conduce a 60 mph, podría ir hacia el norte, sur, este, oeste u otra dirección.

En niveles superiores, el álgebra lineal es útil siempre que intervienen sistemas lineales. Dos características muy importantes de los espacios vectoriales son las bases propias y el Principio de superposición. Considere las dos primeras masas acopladas en resortes, un problema de libro de texto en ecuaciones diferenciales ordinarias. ¿Qué tiene esto que ver con el álgebra lineal? Resulta que todos los estados posibles de este sistema forman un espacio vectorial. Resulta que este espacio vectorial es bidimensional, lo que significa que todos los estados posibles son en realidad combinaciones lineales de dos estados fundamentales. ¿Cuáles son estos dos estados fundamentales? Bueno, en realidad puede usar cualquiera de los dos estados que son linealmente independientes, pero los dos que realmente se destacan son los dos estados propios que representan las dos masas que oscilan exactamente en fase y exactamente fuera de fase.

En cuanto al Principio de Superposición, esta es una de las características clave de la mecánica cuántica que permite utilizar el álgebra lineal para estudiarla. En mecánica cuántica, los sistemas se rigen por funciones de onda. Estas funciones de onda obedecen el Principio de superposición (como deberían hacerlo las ondas) y, por lo tanto, pueden tratarse como vectores en un espacio vectorial. Al estudiar la mecánica cuántica, casi todos los conceptos que aprendes en álgebra lineal de pregrado son importantes. Las variables clásicas toman la forma de operadores hermitianos cuyos valores propios y vectores propios dan los posibles estados a los que el sistema puede colapsar después de la medición; la evolución temporal de los estados se rige por operadores unitarios; posición e impulso son transformaciones de Fourier entre sí; y la probabilidad de que el sistema colapse a un estado propio está determinada por el producto interno de ese estado con el estado propio.

Mencioné la física porque ese es mi campo de estudio, pero, por supuesto, también hay aplicaciones de álgebra lineal fuera de la física.

Answer 4

El álgebra lineal es el estudio de sistemas que siguen la regla “el todo es la suma de las partes”. (*)
El concepto básico es el de un vector que se forma combinando partes llamadas componentes.

Por ejemplo, la dirección es un vector, ya que cualquier dirección en el plano se puede dividir en dos partes, por ejemplo, la cantidad de movimiento hacia el norte o el sur, y la cantidad de movimiento hacia el este o el oeste.

En el cálculo, muchas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que son vectores. Por ejemplo, si tengo la ecuación diferencial [matemáticas] f ‘(x) + f (x) y (x) = 0 [/ matemáticas], y calculo dos soluciones [matemáticas] g [/ matemáticas] y [matemáticas] h [/ math], entonces [math] g + h [/ math] también es una solución. Si las partes son soluciones, entonces su suma también es una.

En mecánica cuántica, si tengo estados válidos de un sistema [math] \ mathbf {x} _1 [/ math] y [math] \ mathbf {x} _2 [/ math] entonces cualquier combinación [math] a \ mathbf {x } _1 + b \ mathbf {x_2} [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​números complejos, también es un estado válido que se llama el principio de superposición. Además, el comportamiento de dicha combinación antes del colapso está completamente determinado por el comportamiento de [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas], y los números [matemáticas] a, b [/ matemáticas].

Otro ejemplo es el juego Lights Out, los vectores son los estados del juego. Pones juegos usando la suma mod 2.

La siguiente idea clave es la de una transformación lineal , que es una función en un vector que está completamente determinada por sus valores en las partes del vector.

Uno puede adivinar que tales sistemas son los más fáciles de estudiar. De hecho, gran parte de las matemáticas se trata de reducir un sistema más complicado, a uno que pueda describirse en términos de álgebra lineal. El cálculo es un ejemplo de esto, aproximamos una función general con su línea tangente, que es una transformación lineal, ya que la multiplicación se distribuye sobre la suma. En general, se puede decir que el cálculo multivariable o incluso una geometría diferencial más general se trata de reducir formas complicadas a planos o espacios planos de alta dimensión, que pueden describirse usando álgebra lineal. Por ejemplo, cualquier dirección en un plano puede descomponerse en componentes.

(*) Al menos el álgebra lineal de dimensión finita es.

Answer 5

Lea la página wiki en Álgebra lineal para tener una idea de lo que es. Para la aplicación de álgebra lineal en la vida real, lea el documento titulado “Varias aplicaciones simples del mundo real de herramientas de álgebra lineal”. ¡También puedes investigar esto!

Answer 6

No creo que pueda hacerlo mejor que Wikipedia:

Álgebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas con respecto a los espacios vectoriales y los mapeos lineales entre dichos espacios. Incluye el estudio de líneas, planos y subespacios, pero también se ocupa de las propiedades comunes a todos los espacios vectoriales.
El conjunto de puntos con coordenadas que satisfacen una ecuación lineal forman un hiperplano en un espacio n -dimensional. Las condiciones bajo las cuales un conjunto de n hiperplanos se cruzan en un solo punto es un foco importante de estudio en álgebra lineal. Dicha investigación está inicialmente motivada por un sistema de ecuaciones lineales que contiene varias incógnitas. Tales ecuaciones se representan naturalmente usando el formalismo de las matrices y los vectores. [1] [2]
El álgebra lineal es fundamental para las matemáticas puras y aplicadas. Por ejemplo, el álgebra abstracta surge al relajar los axiomas de un espacio vectorial, lo que lleva a una serie de generalizaciones. El análisis funcional estudia la versión de dimensión infinita de la teoría de los espacios vectoriales. Combinado con cálculo, el álgebra lineal facilita la solución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
Las técnicas del álgebra lineal también se utilizan en geometría analítica, ingeniería, física, ciencias naturales, informática, animación por computadora y ciencias sociales (particularmente en economía). Debido a que el álgebra lineal es una teoría tan bien desarrollada, los modelos matemáticos no lineales a veces se aproximan mediante modelos lineales.

Answer 7

La velocidad a la que cambia una función particular con respecto a una variable es constante y la velocidad no depende de otra variable ni de la variable misma.
Se dice que tales funciones son lineales y son muy simples de entender y se pueden usar mejor como aproximaciones a las otras funciones de grado superior.
El estudio de tales funciones se llama Álgebra lineal.