Cualquier matriz cuadrada [matemática] A [/ matemática] puede escribirse en términos de sus valores propios [matemática] {\ lambda_i} [/ matemática], sus vectores propios derechos [matemática] {v_i} [/ matemática] ([matemática] A v_i = \ lambda_i v_i [/ math]) y sus vectores propios izquierdos [math] {u_i} [/ math] ([math] u ^ T_i A = \ lambda_i u ^ T_i [/ math]) como,
(1) [matemáticas] A = \ sum_ {i = 1} ^ N \ lambda_i v_i u_i ^ T [/ matemáticas]
donde [math] N [/ math] es la dimensión del espacio vectorial ([math] N = 3 [/ math] aquí), con los vectores propios izquierdo y derecho satisfactorios,
(2) [matemáticas] u ^ T_i v_j = \ delta_ {i, j} [/ matemáticas]
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Hasta ahora, ha especificado dos vectores propios izquierdo o derecho. Hagamos que sean vectores propios correctos,
[matemáticas] v_1 = [2 \ -3 \ 1] ^ T [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 = [-1 \ -1 \ 2] ^ T [/ matemáticas]
Solo necesita uno más para especificar completamente la matriz,
[matemáticas] v_3 = [a \ b \ c] ^ T [/ matemáticas]
Me alegra que haya elegido vectores tridimensionales, porque eso hace que sea muy fácil obtener los vectores propios izquierdos utilizando el producto cruzado ([math] \ times [/ math]),
[matemáticas] u_1 = \ frac {(v_2 \ veces v_3) ^ T} {(v_2 \ veces v_3) ^ T v_1} [/ matemáticas] [matemáticas] u_2 = \ frac {(v_1 \ veces v_3) ^ T} { (v_1 \ veces v_3) ^ T v_2} [/ matemáticas] [matemáticas] u_3 = \ frac {(v_1 \ veces v_2) ^ T} {(v_1 \ veces v_2) ^ T_1 v_3} [/ matemáticas]
Puede verificar por sí mismo que estos vectores propios izquierdo y derecho satisfacen la ecuación. (2) arriba. Ahora, usando estos vectores propios, podemos usar la ecuación. (1) para construir la matriz,
[matemáticas] A = [/ matemáticas] 
Sus vectores [matemática] v_1 = [2 \ -3 \ 1] ^ T [/ matemática] y [matemática] v_2 = [-1 \ -1 \ 2] ^ T [/ matemática] son vectores propios (derechos) de esta matriz , para cualquier valor de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] y cualquier valor propio, [matemática] \ lambda_1 [/ matemática], [matemática] \ lambda_2 [/ math] y [math] \ lambda_3 [/ math].