Cómo derivar la fórmula de la derivada total: es decir, [matemática] \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial u} {\ partial x}. \ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} [/ math]

Answer 1

Suponemos que [math] u [/ math] es una función de variable múltiple con respecto a [math] x, y [/ math]. Eso significa:
[matemáticas] u = u (x, y) [/ matemáticas]
En caso de que [math] u [/ math] sea diferenciable, la diferencia total de [math] u [/ math] existe y satisface:
[math] \ displaystyle {\ mathrm {d} u = \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ mathrm {d} x + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ mathrm {d} y }[/matemáticas]
si [matemáticas] x, y [/ matemáticas] son, mientras tanto, las funciones de [matemáticas] t [/ matemáticas] ([matemáticas] t [/ matemáticas] es el tiempo en la mayoría de los casos): [matemáticas] x = x (t), \ , y = y (t) [/ matemáticas]. Entonces
[matemáticas] \ displaystyle {x ‘(t) = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ Rightarrow \ mathrm {d} x = x’ (t) \ mathrm {d} t [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘(t) = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ Rightarrow \ mathrm {d} y = y’ (t) \ mathrm {d} t [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[math] \ displaystyle {\ mathrm {d} u = \ frac {\ partial u} {\ partial x} x ‘(t) \ mathrm {d} t + \ frac {\ partial u} {\ partial y} y ‘(t) \ mathrm {d} t} [/ math]
Divide ambos lados entre [math] \ mathrm {d} t [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial u} {\ partial x} x ‘(t) + \ frac {\ partial u} {\ parcial y} y ‘(t)} [/ math]
o finalmente:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} [/ math]

Answer 2

Aquí debe ser una función de X e y y vamos a diferenciarlo wrt T.

U (x, y)
Parcial diferenciación wrt T ahora tenemos,
D (u) para el cambio en x =

du / dt = du / dx * dx / dt
Como u consiste en X y estamos diferenciando wrt T, entonces x tendrá que diferenciarse wrt t ahora.
Del mismo modo, podemos resolver du / dt en el cambio en y.

du / dt = du / dy * dy / dt.

Ahora, para obtener la derivada total wrt T, necesitamos que todos los cambios ocurran tanto en x como en y.
Así se hace.

Du / dt = du / dx * dx / dt + du / dy * dy / dt