La teoría de Galois es una teoría muy elegante, y su comprensión da un efecto que ningún otro sustituto recreativo puede proporcionar. Habiendo dicho eso, estoy tratando de encontrar una explicación más simple de la teoría. A Galois se le ocurrió una teoría cuando tenía 19 años, y será un gran logro si una persona interesada promedio de 19 años puede entender fácilmente esta teoría hoy.
Confiaré en la Teoría de Galois para mostrar que una ecuación de grado tres (cúbica) se puede resolver mediante radicales, y luego agitar a mano para un polinomio de quinto grado.
Recordemos que una ecuación de tercer grado es: [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]
Ahora, según Vieta, si [matemáticas] x_1, x_2, x_3, [/ matemáticas] son las raíces de la ecuación anterior, entonces lo anterior se puede escribir como: [matemáticas] (x – x_1) (x – x_2) (x – x_3) = 0 [/ matemáticas]
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Y más importante:
[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 = -a [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = b [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1.x_2.x_3 = -c [/ matemáticas]
Las ecuaciones anteriores se denominan funciones simétricas elementales , y debería poder anotar las funciones simétricas elementales de polinomios de grado superior de manera similar.
La teoría fundamental de las funciones simétricas dice que cualquier función simétrica puede escribirse en términos de funciones simétricas elementales . Por ejemplo, dado que [matemáticas] (x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + x_3 ^ 3) [/ matemáticas] es un polinomio simétrico, por cálculo bruto y reducción, podrá escribirlo en términos de [matemáticas] (a, b , c) [/ matemáticas]. El teorema básicamente garantiza que incluso antes de comenzar a trabajar en lápiz y papel. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto, es decir, las funciones compuestas de funciones simétricas elementales pueden no ser simétricas.
Si aún no ha descubierto qué es una función simétrica , es una función que produce el mismo valor para todas las permutaciones de sus variables. Entonces, si [math] S (x_1, x_2, x_3) [/ math] es una función simétrica, su valor será el mismo, independientemente de cómo permute sus variables, e, g [math] S (x_1, x_3, x_2) .[/matemáticas]
Ahora la cuestión de la solubilidad en radicales se reduce a una cuestión de extracción. Para los polinomios de tercer grado, estamos preguntando si las variables individuales se pueden expresar en términos de funciones simétricas elementales, es decir, ¿hay una [matemática] S_1 (a, b, c) = x_1 [/ matemática]. Recuerde que [math] S_1 [/ math] es una función de funciones simétricas elementales y [math] x_1 [/ math] es el valor de esa función.
Vamos a resolverlo para el cúbico: [math] (x_1, x_2, x_3) [/ math] tiene 6 permutaciones, [math] \ {(x_1, x_2, x_3), (x_3, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_1), (x_1, x_3, x_2), (x_2, x_1, x_3), (x_3, x_2, x_1) \} [/ math] . Sin estropear la diversión, digamos que todas estas permutaciones forman un grupo . [matemáticas] [/ matemáticas] Es importante destacar que tenemos 2 subgrupos cíclicos , [matemáticas] \ {(x_1, x_2, x_3), (x_3, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_1) \}, \; [ / matemática] [matemática] [/ matemática] y [matemática] \ {(x_1, x_3, x_2), (x_2, x_1, x_3), (x_3, x_2, x_1) \}. [/ matemática]
Ahora veamos las consecuencias mágicas de los divagaciones anteriores, tome una función [matemática] A, [/ matemática] tal que [matemática] A (x_1, x_2, x_3) = (x_1 + w.x_2 + w ^ 2.x_3) ^ 3, [/ math] donde [math] \ {1, w, w ^ 2 \} [/ math] [math] [/ math] son las raíces cúbicas de la unidad.
Te darás cuenta de lo siguiente:
[matemáticas] A (x_1, x_2, x_3) = A (x_3, x_1, x_2) = A (x_2, x_3, x_1) = u \; [/ matemáticas] (asumir), y
[matemáticas] B (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_3, x_2) = A (x_2, x_1, x_3) = A (x_3, x_2, x_1) = v \; [/ math] (asumir) [ matemáticas]. [/ matemáticas]
Ahora puedo formar 2 funciones simétricas como esta:
[matemáticas] S_1 (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_2, x_3) + B (x_1, x_2, x_3) = u + v [/ matemáticas]
[matemáticas] y [/ matemáticas]
[matemáticas] S_2 (x_1, x_2, x_3) = A (x_1, x_2, x_3) .B (x_1, x_2, x_3) = uv [/ matemáticas]
Dado que las 2 funciones anteriores son simétricas, será expresable en términos de funciones simétricas elementales, también conocidas como radicales . Dado que tenemos 2 ecuaciones relacionadas con 2 variables u, v, podremos extraer [matemáticas] u, v [/ matemáticas] en términos de radicales, es decir, [matemáticas] u = u (a, b, c), v = v (a, b, c) [/ matemáticas]. Una vez que tenemos eso, tenemos 3 ecuaciones, a saber:
[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 = -a [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 + w.x_2 + w ^ 2.x_3 = u (a, b, c) ^ {1/3} [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 + w.x_3 + w ^ 2.x_2 = v (a, b, c) ^ {1/3} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que las 3 ecuaciones lineales simultáneas ahora se expresan en términos de radicales , por lo tanto, las raíces o variables, [math] \ {x_1, x_2, x_3 \} [/ math] [math], [/ math] serán expresables en términos de radicales .
Ahora, a partir de lo anterior, es importante comprender qué papel desempeñan los grupos de permutación, y los subgrupos van a jugar en la capacidad de resolución de un grado superior, especialmente la ecuación de quinto grado. Para el 5º grado general, no tenemos subgrupos del grupo de permutación de 5 variables, que satisfacen el criterio de Galois para la extracción de variables individuales, por lo tanto, la quintic general es insoluble en radicales. Los tipos matemáticos lo dicen de esta manera, el grupo de Galois de un polinomio general de 5º grado es insoluble, por lo tanto, es imposible representar las raíces de un polinomio general de 5º grado usando radicales (en serio, esta única línea es la prueba ). Los casos especiales seguirán siendo solucionables. Por ejemplo, [matemáticas] (x ^ n – 1) = 0 \; [/ math] se puede resolver en radicales para todos los enteros [math] n [/ math].
Intentemos extender lo anterior a la ecuación general de 5º grado, tenemos la quintica:
[matemática] x ^ 5 + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemática].
Los polinomios simétricos elementales son:
[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -a [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum x_1.x_2 = b [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum x_1.x_2.x_3 = -c [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum x_1.x_2.x_3.x_4 = d [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1.x_2.x_3.x_4.x_5 = -e [/ matemáticas]
Necesitamos 5 ecuaciones lineales para resolver [matemáticas] \ {x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \} \; [/ matemáticas]. Ya tenemos el primero, que es el primer polinomio simétrico elemental , necesitamos las siguientes 4 ecuaciones que también se expresan en polinomios simétricos elementales ( radicales ). Para eso necesitamos cuatro funciones [matemáticas] A, B, C, D \; [/ math] tal que
[matemáticas] S_1 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = A + B + C + D = -y_1 [/ matemáticas]
[matemática] S_2 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = AB + AC + AD + BC + BD + CD = y_2 [/ matemática]
[matemáticas] S_3 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = BCD + ACD + ABD + ABC = -y_3 [/ matemáticas]
[matemáticas] S_4 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = ABCD = y_4 [/ matemáticas]
Las funciones [matemáticas] S_1, S_2, S_3, S_4 \; [/ math] debe ser simétrico para que puedan ser representados por radicales, también [math] B, C, D \; [/ math] debería ser alguna permutación variable no cíclica de [math] A. [/ math] Entonces, básicamente, necesitamos una función [math] A [/ math] de 5 variables que asume un máximo de 4 valores bajo todas las permutaciones.
¡Para 5 variables tenemos [matemáticas] 5! = 5.4.3.2.1 = 120 [/ matemáticas] permutaciones. Entonces necesitamos una función [matemática] A, \; [/ math] de modo que 30 permutaciones producirán el mismo valor para [math] A. [/ matemáticas] Esto debería corresponder a un subgrupo cíclico del grupo de permutación de 5 variables. Pero sabemos que un subgrupo cíclico del grupo de permutación de 5 variables contiene solo 5 permutaciones, a saber, [matemáticas] \ {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5), (x_5, x_1, x_2, x_3, x_4), ( x_4, x_5, x_1, x_2, x_3), (x_3, x_4, x_5, x_1, x_2), (x_2, x_3, x_4, x_5, x_1) \}. [/ matemática] [matemática] [/ matemática]
En otras palabras, necesitamos 4 subgrupos de cardinalidad igual (30 aquí), de modo que todos los subgrupos también sean similares de alguna manera, de modo que podamos formar una función que produzca el mismo valor para todas las permutaciones en el subgrupo. Galois hace una caracterización recursiva y sofisticada aquí, la receta secreta que quiero simplificar y presentar algún día, para poder lograr mi objetivo declarado anteriormente. Aquí hay un ejemplo del modelo recursivo utilizado por Galois. Básicamente, las [matemáticas] \ {A, B, C, D \} [/ matemáticas] anteriores son simplemente las raíces de una ecuación de cuarto grado, suponiendo que la ecuación de abajo es solucionable y sabemos que es solucionable en términos de radicales, que a su vez, supuestamente se expresaron en los radicales de la ecuación quíntica original, bajo los supuestos:
[matemáticas] z ^ 4 + y_1 (a, b, c, d, e) .z ^ 3 + y_2 (a, b, c, d, e) .z ^ 2 + y_3 (a, b, c, d , e) .z + y_4 (a, b, c, d, e) = 0 [/ matemática]
El quid de la cuestión es demostrar que no tenemos una función [matemática] A \; [/ matemática], de modo que asuma 4 valores en todo el conjunto de permutaciones de 5 variables. Para una ecuación de 4º grado podemos encontrar una función, de modo que asuma solo 3 valores bajo todas las permutaciones, y haciendo lo mismo que antes, podemos resolver los polinomios de 4º grado en radicales. En este caso, [math] A (x_1, x_2, x_3, x_4) = ((x_1 + x_2) – (x_3 + x_4)) ^ 2 \; [/ math] dará 3 valores distintos en las permutaciones de 4 variables. A medida que reducimos el grado de las ecuaciones para encontrar la expresión radical de la función que mantiene constantes todas las permutaciones de un subgrupo (es decir, [matemáticas] A [/ matemáticas]), notamos que las funciones simétricas elementales o los radicales para Los polinomios de menor grado se convierten en una representación más compleja de los radicales originales. Galois captura esto maravillosamente con el concepto de extensiones de campo .
Pero para el quintic no podemos encontrar una función [math] A, [/ math] con las características requeridas, y por lo tanto no podemos resolver el quintic de la misma manera que resolvimos el cubic o biquadratic. Una mirada más profunda a las características del grupo de permutación en sí a través de la elegante teoría de Galois revelará que el grupo de permutación de 5 variables carece de las propiedades requeridas (tuercas y tornillos) para expresar las variables a través de radicales. Es decir, la radicalización de las variables es imposible. Por el contrario, si el grupo de Galois de una ecuación polinómica es solucionable , tenemos una forma mecánica de expresar las raíces en términos de radicales. Sin embargo, encontrar el grupo de Galois de una ecuación polinómica general no es trivial. Si el grupo de Galois de una ecuación polinómica es insoluble, básicamente dice que no tenemos suficientes funciones para formar radicales para reconstruir la variable.