Cómo encontrar [matemáticas] \ sum_ {x = 1} ^ \ infty a ^ {x ^ {b}} [/ matemáticas] para 0 <a <1 y b real

Answer 1

No estoy seguro de cómo abordar la serie de inmediato, pero observe que hay una buena forma cerrada para la integral. Suponga que 0 <a <1 yb> 0 . Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty a ^ {x ^ b} \, dx = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {x ^ b \ log (a)} \, dx [/ math]

Como log (a) es negativo, reescribamos eso como -log (1 / a). Además, absorbamos el registro (1 / a) en la x.

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ left (\ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})} x \ right) ^ b} \, dx [/ math ]

Ahora limpiemos eso haciendo la sustitución [math] u = x \ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})} [/ math], [math] du = \ sqrt [b] { \ log (\ frac {1} {a})} dx [/ math]. Obtenemos

[matemática] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- u ^ b} \ frac {du} {\ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- u ^ b} du [/ math]

Las integrales de esta forma pueden manipularse en integrales de función Gamma. Recordemos que, por definición,

[matemáticas] \ Gamma (t + 1): = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ te ^ {- x} \, dx [/ math]

Entonces haga la sustitución [math] v = u ^ b [/ math], [math] dv = bu ^ {b-1} \, du [/ math]. Resolviendo para du, tenemos

[matemáticas] du = \ frac {dv} {b \ sqrt [b] {v} ^ {b-1}} = \ frac {1} {b} v ^ {\ frac {1-b} {b}} dv [/ math]

Sustituyendo esto nuevamente en la integral original, tenemos

[matemáticas] = \ frac {1} {\ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- v} \ frac {1} {b } u ^ {\ frac {1-b} {b}} dv [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {b \ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- v} v ^ {\ frac { 1-b} {b}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {b \ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} \ Gamma \ left (1 + \ frac {1-b} {b} \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ Gamma (\ frac {1} {b})} {b \ sqrt [b] {\ log (\ frac {1} {a})}} [/ matemáticas]

Si lo desea, podemos usar la ecuación funcional Gamma para absorber la b en el denominador en el Gamma:

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty a ^ {x ^ b} \, dx = \ frac {\ Gamma (1+ \ frac {1} {b})} {\ sqrt [b] {\ log (\ frac { 1} {a})}} [/ matemáticas]

Answer 2

Encontré una de las formas a ^ mb ^ n / k, que es del estilo de Fibonacci, pero se aplica a los heptagones. Obtienes The Heptagon Flat.

El más grande con el que experimenté fue con cinco parámetros.