Para números reales, el símbolo [math] \ sqrt {x} [/ math] se define como la raíz cuadrada positiva del valor real [math] x [/ math].
Para valores complejos de [math] z [/ math] no existe una regla tan clara y el símbolo rara vez se usa para números complejos, pero algunos lo definirían como la raíz cuadrada con una parte real positiva.
En cualquier caso, volviendo al reino de los números reales, el concepto clave es el valor absoluto y tenemos, para cualquier número real, positivo, negativo o cero:
[matemáticas] \ lvert a \ rvert = \ sqrt {a ^ 2} [/ matemáticas]
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Si el valor a es negativo, entonces
[matemáticas] a = – \ lvert a \ rvert [/ matemáticas]
La cuarta raíz complica la situación. Al igual que con las raíces cuadradas, [math] \ sqrt [4] {x} [/ math] solo se define para números no negativos [math] x [/ math]. Afortunadamente, estamos seguros de que [matemática] a ^ 2 [/ matemática] es positiva incluso si [matemática] a [/ matemática] no lo es. Entonces, si [math] a \ lt 0 [/ math] entonces
[matemáticas] \ sqrt [4] {a ^ 2} = \ sqrt {-a} [/ matemáticas]
Esto parece un poco extraño, pero hemos asumido que [matemáticas] a [/ matemáticas] es negativo. Pero para tranquilizarnos podemos escribir esto:
[matemáticas] \ sqrt [4] {a ^ 2} = \ sqrt {\ lvert a \ rvert} [/ matemáticas]
y esto es válido para todos los valores de [math] a [/ math], negativo o no.
ACTUALIZACIÓN sobre la pregunta revisada.
Use el siguiente procedimiento para extraer raíces cuadradas de cualquier número complejo, usando solo operaciones reales. Una cuarta raíz es solo 2 raíces cuadradas sucesivas, aunque los detalles pueden ser más que un poco complejos.
Si [math] a [/ math] puede ser cualquier número complejo, como [math] $ i [/ math], entonces [math] z = a ^ 2 [/ math] también puede ser cualquier número complejo ([ matemáticas] z = x + y $ i [/ matemáticas] donde x e y son números reales, las partes real e imaginaria).
Entonces, el problema se convierte en cómo calcular, usando la aritmética básica más la raíz cuadrada de uno o más números reales, la raíz cuadrada de un número complejo (como [matemáticas] – $ i = 0 + (-1) $ i [/ matemáticas]).
Supongamos que tenemos un número complejo [math] w [/ math] que es una raíz cuadrada de [math] z [/ math]. Queremos
[matemáticas] w ^ 2 = z [/ matemáticas]
Suponga que [matemáticas] w = u + v $ i [/ matemáticas]
donde u y v son números reales.
Entonces nosotros tenemos
[matemáticas] x = u ^ 2-v ^ 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] y = 2 uv [/ matemáticas]
Para resolver estas ecuaciones, usamos la segunda para expresar v en términos de u y la sustituimos en la primera para obtener la siguiente ecuación de cuarto grado para u, pero en segundo grado en [matemáticas] u ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4u ^ 4 -4u ^ 2 x – y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
La ecuación cuadrática ahora nos dice que
[matemáticas] u ^ 2 = \ frac {x + \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} {2} [/ matemáticas]
Una raíz de esta cuadrática se descarta porque haría que [math] u ^ 2 [/ math] sea negativo.
Entonces, una solución (después de un poco más de trabajo) es
[matemáticas] u = s_0 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} + x} {2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] v = s_1 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} -x} {2} [/ matemáticas]
Donde las raíces cuadradas siempre toman el valor positivo, pero las cantidades [math] s_0, s_1 [/ math] son 1 o -1, elegidas como 1 si [math] y \ gt 0 [/ math] o ambas – 1 si [matemáticas] y \ lt 0 [/ matemáticas].
La otra raíz cuadrada compleja es lo negativo de esto.
Así que apliquemos esta información a los casos en cuestión. Queremos decir la cuarta raíz (compleja) de 1, que es la raíz cuadrada de -1. Podemos obtenerlo de estas fórmulas, pero sabemos que [matemáticas] $ i [/ matemáticas] es una cuarta raíz de 1 y [matemáticas] – $ i [/ matemáticas] es la otra.
A continuación, ¿qué pasa con [math] \ sqrt [4] {i} [/ math]? Aplicando las fórmulas anteriores obtenemos las siguientes 4tas raíces de -1:
[matemáticas] z_1 = \ frac {\ sqrt {2}} {2} (1 + i) [/ matemáticas] y
[matemáticas] z_2 = – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (1 + i) [/ matemáticas]
En este punto, incluso podemos obtener la cuarta raíz de [matemáticas] $ i [/ matemáticas], como raíces cuadradas del cálculo anterior, y continuar este proceso para siempre.
El álgebra es un poco molesto, así que no mostraré ese cálculo aquí.