¿Cómo se puede probar: [matemáticas] {n \ elegir 0} {n \ elegir r} + {n \ elegir 1} {n \ elegir r + 1} +… + {n \ elegir nr} {n \ elegir n } = \ frac {2n!} {(nr)! (n + r)!} [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] {n \ elegir 0} {n \ elegir r} + {n \ elegir 1} {n \ elegir r + 1} +… + {n \ elegir nr} {n \ elegir n} [/ matemática]

Ahora [math] {n \ choose r} [/ math] se puede escribir como [math] {n \ choose nr} [/ math], por lo que la expresión anterior se convierte en:

[matemáticas] {n \ elegir 0} {n \ elegir nr} + {n \ elegir 1} {n \ elegir n- (r + 1)} +… + {n \ elegir nr} {n \ elegir 0} [ /matemáticas]

Que claramente es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {nr} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (1 + x) ^ n (1 + x) ^ n [/ matemáticas]

El coeficiente de [matemáticas] x ^ {nr} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (1 + x) ^ {2n} [/ matemáticas] es [matemáticas] {2n \ elegir nr} = \ frac {2n !} {(n + r)! (nr)!} [/ math]

Por lo tanto demostrado.

El crédito completo de esta respuesta es para Apoorv Saxena, solo ayudé a producir la respuesta en un formato más legible.

Answer 2

[matemáticas] \ begin {eqnarray} {n \ elegir 0} {n \ elegir r} + {n \ elegir 1} {n \ elegir r + 1} + \ cdots + {n \ elegir nr} {n \ elegir n } \\ = {n \ elige 0} {n \ elige nr} + {n \ elige 1} {n \ elige nr-1} + \ cdots + {n \ elige nr} {n \ elige 0} & & \ cdots (1) \ end {eqnarray} [/ math]

Ahora imagine dos conjuntos de individuos de manera que cada conjunto tenga [matemáticas] n [/ matemáticas] individuos cada uno. El número de formas de seleccionar [math] nr [/ math] individuos del conjunto de [math] 2n [/ math] individuos es

[matemáticas] \ begin {eqnarray} {2n \ choose {nr}} = \ frac {2n!} {(nr)! (n + r)!} & & \ cdots (2) \ end {eqnarray} [/ math ]

También podemos contar el número de formas de seleccionar [math] nr [/ math] individuos del conjunto de [math] 2n [/ math] individuos de manera diferente, ya que debe ser igual a

El número de formas de seleccionar todos los individuos [matemáticos] nr [/ matemáticos] del segundo grupo de individuos

más el número de formas de seleccionar [matemática] 1 [/ matemática] individual del primer conjunto y las restantes [matemática] nr-1 [/ matemática] individuos del segundo conjunto

más el número de formas de seleccionar individuos [matemáticos] 2 [/ matemáticos] del primer conjunto y los individuos [matemáticos] nr-2 [/ matemáticos] restantes del segundo conjunto

:::

más el número de formas de seleccionar todos los individuos [math] nr [/ math] del primer conjunto.

cual es

[math] \ begin {eqnarray} \ displaystyle {n \ choose 0} {n \ choose nr} + {n \ choose 1} {n \ choose nr-1} + \ cdots + {n \ choose nr} {n \ elija 0} & & \ cdots (3) \ end {eqnarray} [/ math]

Por lo tanto, usando (1), (2) y (3) obtenemos

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} {n \ elegir 0} {n \ elegir r} + {n \ elegir 1} {n \ elegir r + 1} + \ cdots + {n \ elegir nr} {n \ elegir n} = \ frac {2n!} {(nr)! (n + r)!} \ end {eqnarray *} [/ math]

Answer 3

Es una simple cuestión de visualizar cómo se puede expresar la serie.