¿Cómo se calcula [matemáticas] \ int \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 \ pm a ^ 2}} \ text {d} x [/ matemáticas]?

Answer 1

Al realizar la sustitución trigonométrica adecuada.

A la gente le gusta memorizar todo tipo de fórmulas, pero hay una forma mucho más simple: dibujar un triángulo rectángulo. Rotúlelo de tal manera que dos de los lados sean expresiones simples (en este caso, x y a respectivamente), y el tercer lado será una raíz cuadrada de una suma o diferencia.

Entonces, por ejemplo, si tiene suma, entonces la raíz cuadrada está en la hipotenusa yx y a son las piernas. Idealmente, nos gustaría colocarlos para que

[matemáticas] \ displaystyle \ tan \ theta = \ frac xa, [/ matemáticas]

solo porque tendemos a preferir el bronceado a la cuna . Matemáticamente realmente no importa. En cualquier caso, nuestra imagen se ve así:

Esto nos da que

[matemáticas] \ displaystyle \ sec ^ 2 \ theta d \ theta = \ frac 1a dx. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta también que tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {a} {\ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}}. [/ matemáticas]

Todos dijeron que tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ frac 1a \ cos \ theta \ right) \ left (a \ sec ^ 2 \ theta d \ theta \ right). [/ math]

Ahora “todo” que queda es esta integral trigonométrica y luego se sustituye de [math] \ theta [/ math] a x .

Answer 2

El signo del medio de la raíz cuadrada determina la sustitución.

Si es positivo, sustituya [matemáticas] x = a \ sinh \ theta [/ matemáticas]. El denominador se convierte en [matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 \ sinh ^ 2 \ theta + a ^ 2} = \ sqrt {a ^ 2 (\ sinh ^ 2 \ theta + 1)} = \ sqrt {a ^ 2 \ cosh ^ 2 \ theta} = a \ cosh \ theta. [/ Math] También [math] \ frac {dx} {d \ theta} = a \ cosh \ theta [/ math], por lo que la respuesta es [math] \ theta + K = \ sinh ^ {- 1} \ frac {x} {a} + K. [/ math]

Si es negativo, sustituya [matemáticas] x = a \ cosh \ theta [/ matemáticas]. El denominador se convierte en [matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 \ cosh ^ 2 \ theta – a ^ 2} = \ sqrt {a ^ 2 (\ cosh ^ 2 \ theta-1)} = \ sqrt {a ^ 2 \ sinh ^ 2 \ theta} = a \ sinh \ theta. [/ Math] También [math] \ frac {dx} {d \ theta} = a \ sinh \ theta [/ math], entonces la respuesta es [math] \ theta + K = \ cosh ^ {- 1} \ frac {x} {a} + K. [/ math]

Answer 3