Cómo encontrar el coeficiente de [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (x + x ^ 2 + x ^ 3 +… + x ^ 6) ^ 6 [/ matemáticas]

Answer 1

-A2A-

Usando la suma de los primeros n términos de secuencia geométrica:

[matemáticas] 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5 + x ^ 6 \ = 1 \ cdot \ frac {1-x ^ 7} {1-x} \ = (1- x ^ 7) (1-x) ^ {- 1} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5 + x ^ 6) ^ 6 \ = (1-x ^ 7) ^ 6 (1-x) ^ { -6} [/ matemáticas]

El término general en la expansión del binomio con exponente positivo [matemáticas] (1 + b) ^ n [/ matemáticas] es: [matemáticas] T_ {r + 1} \ = ^ nC_r b ^ r [/ matemáticas]

Entonces, el término general en la expansión de [matemáticas] (1-x ^ 7) ^ 6 [/ matemáticas] es: [matemáticas] T_ {r + 1} \ = (-1) ^ r \ ^ 6C_rx ^ {7r }[/matemáticas]

Expandiendo el binomio con poderes negativos como:

[matemáticas] (1-x) ^ {- n} \ = 1 + (-n) (- x) + \ frac {(- n) (- n-1)} {2!} (- x) ^ 2 + \ frac {(- n) (- n-1) (- n-2)} {3!} (- x) ^ 3 + \ cdots + \ infty \ = 1 + nx + \ frac {n (n + 1)} {2!} X ^ 2 + \ frac {n (n + 1) (n + 2)} {3!} X ^ 3 + \ cdots + \ infty [/ math]

El término general se escribe como: [matemáticas] T_ {k + 1} \ = \ frac {n (n + 1) (n + 2)…. (N + (k-1))} {k!} X ^ k [ /matemáticas]

Entonces, para el binomio [matemáticas] (1-x) ^ {- 6} [/ matemáticas], el término general se puede escribir como:
[matemáticas] T_ {k + 1} \ = \ frac {6 * 7 * 8… .. * (6 + k-1)} {k!} x ^ k \ = \ frac {(k + 5)!} {k! * 5!} x ^ k [/ matemáticas]; [matemáticas] k \ ge 1 [/ matemáticas]

Claramente, cuando se considera el producto de la expansión de [matemáticas] (1-x ^ 7) ^ 6 [/ matemáticas] con la expansión de [matemáticas] (1-x) ^ {- 1} [/ matemáticas], el término que contiene [math] x ^ {21} [/ math] en el producto se obtiene cuando el término [math] x ^ 0 [/ math] en expansión binomial positiva se multiplica por el término [math] x ^ {21} [/ math] en expansión binomial negativa + [matemática] x ^ 7 [/ matemática] término en expansión binomial positiva se multiplica por [matemática] x ^ {14} [/ matemática] término en expansión binomial negativa + [matemática] x ^ {14} [/ matemática ] término en expansión binomial positiva se multiplica con [matemáticas] x ^ {7} [/ matemáticas] término en expansión binomial negativa + [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] término en expansión binomial positiva se multiplica con [matemáticas] x ^ {0} [/ math] término en expansión binomial negativa.

En una representación más simple, [math] x ^ {21} [/ math] se obtiene cuando los términos de ambas expansiones se multiplican de manera que: (7r = 0) * (k = 21) + (7r = 7) * (k = 14 ) + (7r = 14) * (k = 7) + (7r = 21) * (k = 0)

Usando los términos generales de cada expansión, podemos encontrar los coeficientes para los valores correspondientes de r y k como:

r = 0, coeficiente de [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] = 1
r = 1, coeficiente de [matemáticas] x ^ 7 [/ matemáticas] = -6
r = 2, coeficiente de [matemáticas] x ^ {14} [/ matemáticas] = 15
r = 3, coeficiente de [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] = -20

k = 0, coeficiente de [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] = 1
k = 7, coeficiente de [matemáticas] x ^ 7 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {(7 + 5)!} {7 * 5!} \ = \ frac {12!} {7! * 5! }[/matemáticas]
k = 14, coeficiente de [matemáticas] x ^ {14} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {19!} {14! * 5!} [/ matemáticas]
k = 21, coeficiente de [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {26!} {21! * 5!} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el coeficiente de [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (1-x ^ 7) (1-x) ^ {- 1} [/ matemáticas] es = [matemáticas] 1 * \ frac {26!} {21! * 5!} – 6 * \ frac {19!} {14! * 5!} + 15 * \ frac {12!} {7! * 5!} -20 [ / matemáticas] = 7872

Verificación por Wolframalpha:

¡Espero que ayude!

Answer 2

La idea clave para resolver este problema es darse cuenta de que existe una correspondencia uno a uno entre el número de soluciones integrales de la ecuación:

[matemáticas] x_1 + x_2 +… + x_6 = 21 [/ matemáticas], donde [matemáticas] 1 \ le x_i \ le 6 [/ matemáticas],

y la cantidad de formas en que podemos lanzar seis dados distintos para obtener una suma de 21. Para obtener la probabilidad, dividiríamos ese número entre [matemáticas] 6 ^ 6 [/ matemáticas].

¿Por qué tenemos esta correspondencia uno a uno? Imagine multiplicar seis corchetes, cada uno con el término [matemáticas] (x + x ^ 2 + x ^ 3 +…. + X ^ 6) [/ matemáticas]. Cuando multiplique seis de estos términos entre paréntesis, obtendrá varias potencias de [matemáticas] x [/ matemáticas], que van de 6 a 36. Si queremos obtener el coeficiente de una potencia particular, digamos 21, entonces tenemos que elige un término de cada paréntesis, digamos [matemática] x ^ i [/ matemática], de modo que todas las potencias sumen 21. Para que puedas elegir una tupla de 6 como <3,4,5,5,3, 1>. Los poderes de [math] x [/ math] en cada paréntesis expresan las restricciones en cada variable ([math] 1 \ le x_i \ le 6 [/ math]), y el número de paréntesis representa el número de variables (nuevamente 6 ya que estamos tirando seis dados).

Con esa teoría fuera del camino, hagamos el álgebra para encontrar nuestro coeficiente requerido. Afortunadamente, tenemos un par de herramientas a nuestra disposición que nos serán útiles. Recuerda la siguiente expansión:

[matemáticas] (1-x) ^ {- n} = 1 + ^ {n} C_1x + ^ {n + 1} C_2x ^ 2 + ^ {n + 2} C_3 +… [/ matemáticas], donde [matemáticas] n \ en \ mathbb {N} [/ math].

También tenemos la fórmula de suma GP para términos [matemáticos] n [/ matemáticos]:

[matemáticas] 1 + x + x ^ 2 +… .. + x ^ {n-1} = \ dfrac {1-x ^ n} {1-x} [/ matemáticas]

Deseamos el coeficiente de

[matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] en [matemáticas] (x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5 + x ^ 6) ^ 6 [/ matemáticas]
es decir,
[matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] en [matemáticas] x ^ 6 (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5) ^ 6 [/ matemáticas]
es decir,
[matemáticas] x ^ {15} [/ matemáticas] en [matemáticas] (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5) ^ 6 [/ matemáticas]
es decir,
[matemáticas] x ^ {15} [/ matemáticas] en [matemáticas] {\ left (\ dfrac {1-x ^ 6} {1-x} \ right)} ^ 6 [/ matemáticas]
es decir
[matemáticas] x ^ {15} [/ matemáticas] en [matemáticas] {(1-x ^ 6)} ^ 6 {(1-x)} ^ {- 6} [/ matemáticas]
es decir
[matemáticas] x ^ {15} [/ matemáticas] en [matemáticas] (1- ^ 6C_1x ^ 6 + ^ 6C_2x ^ {12} – …) (1 + ^ 6C_1x + ^ 7C_2x ^ 2 + ^ 8C_3x ^ 3 + …) [/matemáticas]
es decir
[matemáticas] ^ {20} C_ {15} – ^ 6C_1. ^ {14} C_9 + ^ 6C_2. ^ 8C_3 [/ matemáticas]