Cómo evaluar [matemáticas] (- 2) ^ {\ pi} [/ matemáticas]

Answer 1

Si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​números complejos, entonces [math] a ^ {b} [/ math] se define de la siguiente manera:

[math] e ^ {b \ log \; a} [/ math] donde [math] \ log [/ math] significa logaritmo natural

Será una función (relación) con muchos valores a menos que [math] \ log \; a [/ math] tenga un solo valor.

[matemáticas] \ log \; a [/ matemáticas], si a no es cero y no positivo se define como

[matemáticas] \ log | a | \; + \; yo. (\; Arg (a) \; + \; 2n \ pi \;) [/ math] donde n es cualquier número entero.

Por lo tanto, obtenemos infinitos valores para [math] \ log \; a. [/ Math]

Para responder a su pregunta, tenemos [math] -2 \; = \; 2.e ^ {i. \ Pi \; + \; i.2n \ pi} [/ math]

donde [math] n \; [/ math] es cualquier número entero

[matemáticas] \ por lo tanto \; \; \ log (-2) \; = \; \ log 2 \; + \; i. \ pi. (2n \; + \; 1) [/ matemáticas]

y [matemáticas] \ pi \; = \; \ pi \; + \; i.0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] (- 2) ^ {\ pi} \; = \; e ^ {\ pi. \ log 2 \; + \; i. \ pi ^ {2}. ( 2n \; + \; 1)} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] n \; [/ math] es cualquier número entero

es decir, [matemáticas] (-2) ^ {\ pi} \; = \; 2 ^ {\ pi} \ ;. e ^ {i. \ pi ^ {2}. (2n \; + \; 1)} [ /matemáticas]

donde [matemáticas] n \; [/ math] es cualquier número entero, es un conjunto infinito de números complejos que tienen los mismos valores absolutos.

Answer 2

Evalúa el número negativo en exponente irracional utilizando la definición (por ejemplo, Exponenciación). En general, [math] z ^ p [/ math] se define como [math] \ exp (p \ ln z) [/ math] donde [math] \ ln z [/ math] es un logaritmo complejo. Es una función de valores múltiples (puede agregarle [matemática] 2i \ pi n [/ matemática] con n arbitraria). Si p es entero, no importa: el resultado es el mismo porque [math] \ exp (2i \ pi m) = 1 [/ math] para cualquier entero m. Si es irracional, hay infinitos valores, por ejemplo [matemáticas] (- 2) ^ \ pi = \ exp (\ pi (\ ln 2 + i \ pi + 2 \ pi ni)) = 2 ^ \ pi \ exp (i \ pi ^ 2 (1 + 2n)) [/ math] yn es un entero arbitrario. Tenga en cuenta que la respuesta de Natalia Nezvanova no es completa porque tiene un solo valor (sucedió porque [matemáticas] -1 = e ^ {i \ pi + 2i \ pi n} [/ matemáticas] yn en este caso es importante). Es la misma razón por la que escribimos [math] \ sqrt {-1} \ equiv (-1) ^ {1/2} = \ pm i [/ math], excepto que si el poder es racional solo hay muchas valores, dos en caso de raíz cuadrada.

Answer 3

Calculadora