¿Es posible separar x e y en esta curva implícitamente definida: [matemáticas] 2x ^ 2 + xy-y ^ 2 = 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es posible.

Esta técnica se llama completar el cuadrado y también es cómo se deriva la fórmula cuadrática.

[matemáticas] 2x ^ 2 + xy – y ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemática] 2x ^ 2 + \ left (2 \ times \ dfrac {x} {2} \ right) y – y ^ 2 = 2 [/ math]

[matemáticas] 2x ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {4} – \ left (\ dfrac {x} {2} \ right) ^ 2 + \ left (2 \ times \ dfrac {x} {2} \ derecha) y – y ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {4} – \ left (\ left (\ dfrac {x} {2} \ right) ^ 2 – \ left (2 \ times \ dfrac {x} { 2} \ right) y + y ^ 2 \ right) = 2 [/ math]

[matemática] 2x ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {4} – \ left (y – \ dfrac {x} {2} \ right) ^ 2 = 2 [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {3x} {2} \ right) ^ 2 – 2 = \ left (y – \ dfrac {x} {2} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {3x} {2} \ right) ^ 2 – 2 = \ left (y – \ dfrac {x} {2} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ pm \ sqrt {\ left (\ dfrac {3x} {2} \ right) ^ 2 – 2} = \ left (y – \ dfrac {x} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {x} {2} \ pm \ sqrt {\ left (\ dfrac {3x} {2} \ right) ^ 2 – 2} = y [/ math]

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Es posible aplicar la fórmula cuadrática directamente a [matemática] 2x ^ 2 + xy -y ^ 2 = 2 [/ matemática], porque completar el cuadrado funciona por igual para coeficientes constantes o variables. Es más fácil reconocer los coeficientes de [matemática] y ^ 2 [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] y ^ 0 [/ matemática] escribiendo la ecuación en forma estándar: [matemática] y ^ 2 + (-x) y + (2-2x ^ 2) = 0 [/ matemática].

[math] x [/ math] como expresión explícita en [math] y [/ math] se puede encontrar completando el cuadrado también.

Answer 2

Ciertamente. La ecuación es cuadrática en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Como está interesado en [math] y [/ math], puede escribirlo de la siguiente manera:

[matemática] y ^ 2 – xy + 2 (1-x ^ 2) = 0. [/ matemática]

De esta forma, verá que los coeficientes de la cuadrática general [matemáticas] ay ^ 2 + por + c [/ matemáticas] son ​​solo [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] b = -x [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 2 (1-x ^ 2) [/ matemáticas]. Luego puede resolver directamente para [math] y [/ math] con la fórmula cuadrática.

Como es cuadrático, tiene dos soluciones (una para cada elección de signo en la fórmula cuadrática), que formarían ramas del gráfico en el plano [math] xy [/ math]. Debido a que es una hipérbola no degenerada, la fórmula implícita tiene dos curvas disjuntas, por lo que cada elección de signo rompe las curvas donde sus líneas tangentes son paralelas al eje [matemático] y [/ matemático], y las fórmulas explícitas representan el uniones de las “mitades superiores” y las “mitades inferiores”.

Por lo tanto, el resultado final es que debe tener dos derivadas, correspondientes a las elecciones de signos, que se definen para una unión de dos intervalos en [math] x [/ math].

Answer 3

Ciertamente. En ese caso, solo considera y como un número desconocido y lo resuelve, que es una ecuación cuadrática. Tenga cuidado de que tenga dos soluciones en un dominio diferente y tenga que diferenciarlo respectivamente.

Answer 4

Use la fórmula cuadrática A = 2 B = y y C = – (y ^ 2 + 2).

Creo que son los valores, su pregunta está detrás de este cuadro de texto.

Y estoy usando un iPad.