¿Cómo es la derivada de [math] \ ln (x) [/ math] igual a [math] \ frac1x [/ math]?

Answer 1

[math] \ log (x) [/ math] se define muy a menudo como la antiderivada de [math] 1 / x [/ math]. Formalmente, la definición es

[matemáticas] \ displaystyle \ log (x) = \ int_ {1} ^ {x} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]

de donde es evidente que [math] \ log ‘(x) = 1 / x [/ math]. Para demostrar que esta función es el logaritmo con base [math] e [/ math], primero demuestre que [math] \ log (ab) = \ log (a) + \ log (b) [/ math] para todos [math] ] a, \, b [/ math] de modo que los valores estén bien definidos, lo que (junto con la continuidad de la función) implica que es un logaritmo. Luego, defina la función inversa [math] \ exp (x) [/ math] y deje que [math] w = \ exp (1) [/ math] (muestre que [math] w <3 [/ math], usamos este resultado más adelante). Tenga en cuenta que debemos demostrar que [math] w = e [/ math].

Para hacer esto, observe la siguiente propiedad interesante de [math] \ exp (x) [/ math], que se puede ver a través de una aplicación de la regla de la cadena:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ log (\ exp (x)) = \ frac {dx} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ exp (x) \ cdot \ frac {1} {\ exp (x)} = \ frac {dx} {dx} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ exp ‘(x) = \ exp (x) [/ matemáticas]

Podemos hacer un buen uso de esta propiedad para derivar una expresión para [math] w [/ math] de la siguiente manera. Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle w – 1 = \ int_ {0} ^ {1} \ exp (x) \, dx [/ math]

y por lo tanto, mediante la integración repetida por partes, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle w – 1 = w – \ int_ {0} ^ {1} x \ exp (x) \, dx [/ math]

[math] \ displaystyle = 1 + \ int_ {0} ^ {1} (1-x) \ exp (x) \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ int_ {0} ^ {1} (1-x) ^ 2 \ exp (x) \, dx = \ ldots [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {1} {k!} + \ frac {1} {n!} \ int_ {0} ^ {1} (1-x) ^ n \ exp (x) \, dx [/ math]

El término restante se puede limitar desde arriba, como tenemos

[matemáticas] \ displaystyle R_n (x) = \ frac {1} {n!} \ int_ {0} ^ {1} (1-x) ^ n \ exp (x) \, dx \ leq \ frac {w – 1} {n!} <\ Frac {2} {n!} [/ Math]

y por lo tanto [math] \ lim_ {n \ to \ infty} R_n (x) = 0 [/ math] y podemos decir que

[matemáticas] \ displaystyle w = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} [/ math]

tras la iteración. Sin embargo, esta es precisamente la definición de [matemáticas] e [/ matemáticas].

Answer 2

¿Cómo es la derivada de ln (x) [matemática] ln⁡ (x) [/ matemática] igual a 1x [matemática] 1x [/ matemática]?

Primero, recordemos que [math] e ^ {ln (x)} = x [/ math]. Luego se deduce que [matemáticas] \ frac {d (e ^ {ln (x)})} {dx} = 1 [/ matemáticas], sin embargo, usando la regla de la cadena encontramos que [matemáticas] \ frac {d (e ^ {ln (x)})} {dx} = \ frac {d (e ^ {ln (x)})} {d (ln (x))} \ frac {d (ln (x))} {dx } [/ math], como hemos visto, debe ser igual a uno, entonces:

[matemáticas] \ frac {d (e ^ {ln (x)})} {d (ln (x))} \ frac {d (ln (x))} {dx} = e ^ {ln (x)} \ frac {d (ln (x))} {dx} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ frac {d (ln (x))} {dx} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (ln (x))} {dx} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Answer 3

Sea y = ln x

Por definición, x = e ^ y

dx / dy = e ^ y = x

Por lo tanto dy / dx = 1 / x

Como y = ln x, se deduce que d (ln x) / dx = 1 / x

Answer 4

Puedes usar la FTC; Fundamental Thm. de cálculo.

use la definición: [matemáticas] lnx: = \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]

Ahora, usando la FTC: [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Answer 5

Si toma el límite de (ln (x) -ln (x ‘)) / (x – x’) como x ‘tiende a x, obtiene 1 / x.

Pero la expresión anterior es una definición de derivada.

Answer 6

Algo como esto se puede buscar fácilmente en línea. Mira el video de Sal Khan donde explica por qué. Te daría el enlace del video, pero investigarlo te ayudará.