Un operador lineal es para una matriz lo que un vector abstracto es para un vector de columna. Un operador lineal es un mapa entre dos vectores abstractos que pertenecen a un espacio vectorial. Es la abstracción de las matrices lo que aprendes cuando pasas de álgebra lineal primaria a intermedia. Una matriz es un operador lineal que actúa sobre el espacio vectorial de los vectores de columna. Según el álgebra lineal y sus teoremas de isomorfismo, cualquier espacio vectorial es isomorfo a cualquier otro espacio vectorial de la misma dimensión. Como tal, las matrices pueden verse como representaciones de operadores lineales sujetos a alguna base de vectores de columna.
Considere, por ejemplo, [math] M | 0 \ rangle = | 0 \ rangle [/ math] y [math] M | 1 \ rangle = 0 [/ math]. Proyectemos esto en la base [math] \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \} [/ math] y veamos qué sucede. [matemáticas] \ langle 0 | M | 0 \ rangle = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ langle 0 | M | 1 \ rangle = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ langle 1 | M | 0 \ rangle = 0 [/ math] y [math] \ langle 0 | M | 0 \ rangle = 0 [/ math]. Esto nos da la representación matricial de nuestro operador,
[matemática] M = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]
Los vectores en este espacio serán vectores de columna cuyos componentes corresponden a los vectores [math] | o \ rangle [/ math] y [math] | 1 \ rangle [/ math].
Sin embargo, podríamos haber proyectado este operador en una base diferente. Considere la base [matemática] \ {\ frac {1} {\ sqrt {2}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle), [/ math] [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {2}} (| 0 \ rangle- | 1 \ rangle) \} [/ math]. Proyectar en esta base da,
[matemática] M = \ frac {1} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math].
Claramente tenemos dos matrices diferentes, pero ambas representan el mismo operador abstracto. Si consideramos que [math] | 0 \ rangle [/ math] y [math] | 1 \ rangle [/ math] son los vectores unitarios x e y , entonces, esta matriz sirve para proyectar en el eje x (y hace esto en ambas bases).
Sin embargo, lo más interesante es que no solo las diferentes matrices pueden representar el mismo operador lineal, las matrices (y los vectores de columna) pueden representar los mismos operadores lineales (y vectores) que las entidades matemáticas completamente diferentes. En la mecánica cuántica, por ejemplo, además de representarse como matrices y vectores de columna, los operadores y los vectores pueden representarse como ecuaciones diferenciales de una manera completamente equivalente.
Nota sobre la notación de bra-ket. Bra-ket es una notación simplificadora utilizada en física para describir espacios vectoriales. Un vector se escribe como un ket que se parece a [math] | v \ rangle [/ math]. El vector dual de cada vector ket es un vector de sujetador que se parece a [math] \ langle v | [/ math]. Cuando juntas un sujetador y un sujetador, obtienes un producto interno [math] \ langle v | w \ rangle [/ math]. En la representación matricial, un ket es un vector de columna, un sujetador es un vector de fila, y puede multiplicarlos para obtener el producto escalar. Ver notación Bra-ket.