Si las ecuaciones [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] bx ^ 2 + cx + 1 = 0 [/ matemáticas] tienen una raíz común, entonces ¿cómo se puede demostrar que [matemáticas ] b + c + 1 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenemos

[matemática] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 1} [/ matemática]]

[matemática] bx ^ 2 + cx + 1 = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 2} [/ matemática]]

Multiplicar (1) por x:

[matemáticas] x ^ 3 + bx ^ 2 + cx = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]

Restar (2):

[matemáticas] x ^ 3 = 1 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 5 *} [/ matemáticas]]

Sustituir en (1):

[matemática] b + c + 1 = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 6} [/ matemática]]

---

(*) x también podría ser una raíz cúbica compleja de la unidad ([math] \ omega [/ math]). En cuyo caso no se cumple la condición requerida:

[matemáticas] \ omega ^ 2 + b \ omega + c = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas]]

Pero si [math] \ omega [/ math] es una raíz común, entonces también lo es [math] \ omega ^ 2 [/ math]. Entonces, si tiene que haber exactamente una raíz común, entonces este caso no está permitido.

Answer 2

Woah! [matemáticas] 1 [/ matemáticas] hora completa, que es mucho más de lo que debería haberme tomado. Solo continúa para demostrar que soy inútil cuando estoy atontado.

Pero, sin embargo, a la solución vamos. Las ecuaciones son:

[matemática] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 1} [/ matemática]]

[matemática] bx ^ 2 + cx + 1 = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 2} [/ matemática]]

Deje que la raíz común de ambas ecuaciones sea [matemáticas] x_1 [/ matemáticas]. Sustituyendo [matemática] x [/ matemática] como [matemática] x_1 [/ matemática] en ambas ecuaciones:

[matemática] x_1 ^ 2 + bx_1 + c = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 3} [/ matemática]]

[matemática] x_1 ^ 2 + (c / b) x_1 + (1 / b) = 0 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 4} [/ matemática]; dividiendo [matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas] entre [matemáticas] b [/ matemáticas]]

Restando [matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas] de [matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas],

[matemáticas] x_1 (b – c / b) + (c – 1 / b) = 0 [/ matemáticas]

O [math] x_1 = (1 – bc) / (b ^ 2 – c) [/ math] [[math] {\ color {red} 5} [/ math]]

____________________________________________________________

Ahora, sustituyendo este valor de [math] x_1 [/ math] en [math] {\ color {red} 3} [/ math],

[matemáticas] ((1 – bc) / (b ^ 2 – c)) ^ 2 + b ((1 – bc) / (b ^ 2 – c)) + c = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] { \ color {rojo} 6} [/ matemáticas]]

Multiplicar [matemáticas] {\ color {rojo} 6} [/ matemáticas] por [matemáticas] (b ^ 2 – c) ^ 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1 – bc) ^ 2 + b (1 – bc) (b ^ 2 – c) + c (b ^ 2 – c) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Abriéndolos entre paréntesis, multiplicándolos, moviéndolos términos aquí y allá, y aterrizamos aquí:

[matemáticas] b ^ 3 + c ^ 3 – 3bc + 1 = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas]]

____________________________________________________________

Ahora, ¿recuerdas la siguiente identidad algebraica?

[matemáticas] (p + q) ^ 3 = p ^ 3 + 3pq ^ 2 + 3p ^ 2q + q ^ 3 [/ matemáticas]

¿Tú lo haces? Bueno. Hora de proceder. Haciendo algunas maniobras más en [matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas],

[matemáticas] (b ^ 3 + 3bc ^ 2 + 3b ^ 2c + c ^ 3) – 3bc – 3bc ^ 2 – 3b ^ 2c + 1 = 0 [/ matemáticas]

O [matemáticas] (b + c) ^ 3 + 1 – 3bc (1 + b + c) = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 8} [/ matemáticas]]

____________________________________________________________

¿Recuerdas esta otra identidad asombrosa?

[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 = (p + q) (p ^ 2 – pq + q ^ 2) [/ matemáticas]

Del mismo modo, [math] (b + c) ^ 3 + 1 [/ math] puede modificarse, lo que haremos ahora en [math] {\ color {red} 8} [/ math] para obtener:

[matemáticas] (1 + b + c) (1 – (b + c) + (b + c) ^ 2) – 3bc (1 + b + c) = 0 [/ matemáticas]

Tomando [math] (1 + b + c) [/ math] común de la expresión, obtenemos:

[matemáticas] (1 + b + c) [(1 – (b + c) + (b + c) ^ 2) – 3bc] = 0 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 9} [ /matemáticas]]

____________________________________________________________

Ahora, para que el LHS de [math] {\ color {red} 9} [/ math] sea igual a [math] 0 [/ math], uno de los multiplicandos debe ser [math] 0 [/ math], que elegiremos muy convenientemente para ser lo que necesitamos mostrar. Por lo tanto,

[matemáticas] 1 + b + c = 0 [/ matemáticas]

QED

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Espero que haya ayudado.

Answer 3

Sea m la raíz común de las ecuaciones.

m ^ 2 + bm + c = 0 …………… ..eq (1)

bm ^ 2 + mc + 1 = 0 …………… .eq (2)

resolviendo ambas ecuaciones

(m-1) b + (mc) = 0

c = m = 1 ……………. (3)

poner el valor de (3) en la ecuación (1)

1 ^ 2 + b + 1 = 0

b = -2

por lo tanto obtenemos

b = -2, c = 1

por lo tanto b + c + 1 = 0 ………. (Probado)

Answer 4

Por inspección, si ponemos x = 1 obtenemos b + c + 1 = 0 de ambas ecuaciones.

Después de 3 horas de escribir la respuesta anterior y deambular por el bosque, encontré un camino.

[matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0… .. (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] bx ^ 2 + cx + 1 = 0… .. (2) [/ matemáticas]

Multiplicando (1) por x y restando (2) de ella.

[matemáticas] x ^ 3–1 = 0 \ implica x = 1 [/ matemáticas]

sustitúyalo en (2)

[matemáticas] \ boxed {\ boxed {b + c + 1 = 0}} [/ math]

Ahora encuentro que David ya había escrito de esta manera.

Answer 5

Contraejemplo: a = b = 1. En este caso, los dos polinomios coinciden y tienen raíces comunes trivialmente pero a + b + 1 = 3.