Cómo calcular el límite [math] \ lim_ {x \ mapsto 0+} sin (19x) ^ {ln (92x + 1)} [/ math] con la regla del hospital

Answer 1

Necesitamos jugar un truco para encontrar la respuesta a esta. Comenzamos con lo siguiente (usaré L para denotar el valor del límite):

[matemática] L = \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ +} sin (19x) ^ {ln (92x + 1)} [/ matemática]

Entonces, para comenzar, comenzamos tomando el logaritmo natural de ambos lados. Debido a que el logaritmo natural se aproxima continuamente a 0 desde la dirección positiva, podemos llevarlo dentro del límite sin preocupaciones. Así obtenemos lo siguiente:

[matemáticas] ln (L) = \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ +} ln [(sin19x) ^ {ln (92x + 1)}] [/ matemáticas]

Por ahora, voy a soltar el ln (L), pero volverá más tarde. Ahora solo aplicamos algunas reglas algebraicas básicas para llevar esto a una forma útil.

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ to0 ^ +} ln (92x + 1) ln (sin (19x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ +} \ frac {ln (sin (19x))} {\ frac {1} {ln (92x + 1)}} [/ matemáticas]

Ahora tenemos algo para lo que podemos usar la regla de l’Hospital. Entonces hacemos lo siguiente:

[matemática] f (x) = ln (sin (19x)) \ rightarrow f ‘(x) = 19 \ frac {cos19x} {sin19x} = 19cot (19x) [/ math]

[matemáticas] g (x) = \ frac {1} {ln (92x + 1)} \ rightarrow g ‘(x) = \ frac {-92} {(92x + 1) ln ^ 2 (92x + 1)} [/matemáticas]

Por lo tanto, ahora podemos volver al límite:

[matemática] \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ +} \ frac {19cot (19x)} {\ frac {-92} {(92x + 1) ln ^ 2 (92x + 1)}} [/ math]

Podemos simplificar ligeramente esta expresión, para que podamos ver cómo evaluar este límite correctamente:

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ to0 ^ +} \ frac {19cot (19x) (92x + 1) ln ^ 2 (92x + 1)} {- 92} [/ matemáticas]

Ahora podemos simplemente sustituir 0 en el límite y resolver:

[matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ +} \ frac {19cot (19x) (92x + 1) ln ^ 2 (92x + 1)} {- 92} = \ frac {19cot (0) (1) ln ^ 2 (1)} {- 92} = 0 [/ matemáticas]

Aquí es donde entra el ln (L) que dejamos anteriormente. Ahora tenemos que resolver para L.

[matemáticas] ln (L) = 0 \ rightarrow e ^ {ln (L)} = e ^ 0 \ rightarrow L = 1 [/ math]

Ahora hemos encontrado con éxito el límite de esa expresión cuando se acerca a 0 desde la dirección positiva.